Question

【題目】綜合與實踐：

問題情境：

如圖 1，AB∥CD，∠PAB=25°，∠PCD=37°，求∠APC的度數，小明的思路是：過點P作PE∥AB，通過平行線性質來求∠APC

問題解決：

（1）按小明的思路，易求得∠APC 的度數為 °；

問題遷移：

如圖 2，AB∥CD，點 P 在射線 OM 上運動，記∠PAB=α，∠PCD=β．

（2）當點 P 在 B，D 兩點之間運動時，問∠APC 與α，β 之間有何數量關系？ 請說明理由；

拓展延伸：

（3）在（2）的條件下，如果點 P 在 B，D 兩點外側運動時 （點 P 與點 O，B，D 三點不重合）請你直接寫出當點 P 在線段 OB 上時，∠APC 與 α，β 之間的數量關系 ，點 P 在射線 DM 上時，∠APC 與 α，β 之間的數量關系 ．

Answer 1

【答案】（1）62；（2），理由詳見解析；（3）；．

【解析】

（1）根據平行線的性質，得到∠APE=∠PAB=25°，∠CPE=∠PCD=37°，即可得到∠APC；

（2）過P作PE∥AD交AC于E，推出AB∥PE∥DC，根據平行線的性質得出∠APE=α，∠CPE=β，即可得出答案；

（3）分兩種情況：P在BD延長線上；P在DB延長線上，分別畫出圖形，根據平行線的性質得出∠α=∠APE，∠β=∠CPE，即可得出答案；

解：如圖1，過P作PE∥AB，

∵AB∥CD，

∴PE∥AB∥CD，

∴∠APE=∠PAB=25°，∠CPE=∠PCD=37°，

∴∠APC=25°+37°=62°；

故答案為：；

與之間的數量關系是：；

理由：如圖，過點作交于點，

∵，

；

如圖3，所示，當P在射線上時，

過P作PE∥AB，交AC于E，

∵AB∥CD，

∴AB∥PE∥CD，

∴∠1=∠PAB=α，

∵∠1=∠APC+∠PCD，

∴∠APC=∠1∠PCD，

∴∠APC=αβ，

∴當P在射線上時，；

如圖4所示，當P在線段OB上時，

同理可得：∠APC=βα，

∴當P在線段OB上時，．

故答案為：；.