Question

閱讀下面的材料：

小明遇到一個問題：如圖（1），在□ABCD中，點E是邊BC的中點，點F是線段AE上一點，BF的延長線交射線CD于點G.  如果，求的值.

他的做法是：過點E作EH∥AB交BG于點H，則可以得到△BAF∽△HEF.

請你回答：（1）AB和EH的數量關系為     ，CG和EH的數量關系為     ，的值為     .

（2）如圖（2），在原題的其他條件不變的情況下，如果，那么的值為     （用含a的代數式表示）.

（3）請你參考小明的方法繼續探究：如圖（3），在四邊形ABCD中，DC∥AB，點E是BC延長線上一點，AE和BD相交于點F. 如果，那么的值為     （用含m，n的代數式表示）.

 

 

Answer 1

【答案】

（1）,, ；（2）；（3）. 

【解析】

試題分析：本題的設計獨具匠心：由平行四邊形中的一個特殊的例子出發（第1問），推廣到平行四邊形中的一般情形（第2問），最后再通過類比、轉化到梯形中去（第3問）．各種圖形雖然形式不一，但運用的解題思想與解題方法卻是一以貫之：即通過構造相似三角形，得到線段之間的比例關系，這個比例關系均統一用同一條線段來表達，這樣就可以方便地求出線段的比值．本題體現了初中數學的類比、轉化、從特殊到一般等思想方法，有利于學生觸類旁通、舉一反三．（1）根據△BAF∽△HEF,可知兩三角形的相似比是3:1，所以AB=3EH；由EH∥AB、CD∥AB可得EH∥CD，故△BCG∽△BEH，而E為BC的中點，所以兩三角形的相似比為2:1，所以CG=2EH；由平行四邊形對邊相等得，AB=CD,所以.

根據（1）的分析，易得.（3）本問體現“類比”與“轉化”的情形，將（1）（2）問中的解題方法推廣轉化到梯形中，如下圖所示．

試題解析：

解：（1）依題意，過點E作EH∥AB交BG于點H，如右圖1所示．則有△ABF∽△HEF，

∴,即AB=3EH

∵EH∥AB、CD∥AB可得EH∥CD，

∴△BCG∽△BEH，

又∵E為BC的中點，

∴CG=2EH；

∴

故填空依次為：,, .

同理根據（1）可以發現：，；

∴

故填空為 .

如上圖所示，過點E作EH//AB交BD的延長線于點H，則有EH//AB//CD

∵EH//CD

∴△BCD∽△BEF,

∴,即

又∵

∴

∵EH//AB

∴△ABF∽△EHF

∴

故填空為：.

考點：1、相似形綜合題；2、平行四邊形的性質；3、梯形；4、相似三角形的判定與性質．