Question

【題目】如圖，在矩形中對角線與相交于點，，垂足為點，且，則的長為___________.

Answer 1

【答案】

【解析】

由矩形的性質可得OC＝OD，于是設DE＝x，則OE＝2x，OD＝OC＝3x，然后在Rt△OCE中，根據勾股定理即可得到關于x的方程，解方程即可求出x的值，進而可得CD的長，易證△ADC∽△CED，然后利用相似三角形的性質即可求出結果．

解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，BD＝AC，OD＝BD，OC＝AC，∴OC＝OD，

∵EO＝2DE，∴設DE＝x，則OE＝2x，∴OD＝OC＝3x，

∵CE⊥BD，∴∠DEC＝∠OEC＝90°，

在Rt△OCE中，∵OE2+CE2＝OC2，∴（2x）2+52＝（3x）2，

解得：x＝，即DE＝，

∴，

∵∠ADE+∠CDE=90°，∠ECD+∠CDE=90°，∴∠ADE=∠ECD，

又∵∠ADC=∠CED=90°，∴△ADC∽△CED，

∴，即，解得：．

故答案為：．