Question

【題目】如圖，如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分線交BC于點D，點O在AB上，以點O為圓心，OA為半徑的圓恰好經過點D，交AC于點E，交AB于點F．

（1）求證：BC是⊙O的切線；

（2）若BD=，BF=2，求陰影部分的面積　　　　(直接填空)．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

（1）連接OD，利用角平分線和平行線之間的角度關系，得到OD//AC，所以OD⊥BC，從而得出BC與⊙O相切；

（2）利用直角三角形的勾股定理解得圓的半徑，將陰影部分的面積轉化為三角形面積與扇形面積之差，從而計算出陰影部分的面積．

（1）證明：如圖，連接OD，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA，

∵AD平分∠BAC，

∴∠CAD=∠OAD，

∴∠CAD=∠ODA，

∴AC∥OD，

∴∠ODB=∠C=90°，

∵OD是⊙O的半徑，

∴BC是⊙O的切線；

（2）設⊙O的半徑為r，則OD=r，OB=r+2，

由（1）可知∠BDO=90°，

在Rt△BDO中，根據勾股定理可得：OD2+BD2=OB2，

即r2+（）2=(r+2)2，

解得：r=2，

在Rt△BOD中，tan∠BOD=，

∴∠BOD=60°，

故陰影部分的面積為：

S陰影=S△OBD-S扇形DOF=×OD×BD-．