Question

【題目】對于一個函數給出如下定義：對于函數，若當，函數值滿足，且滿足，則稱此函數為“屬和合函數”．

例如：正比例函數，當時，，則，求得：，所以函數為“3屬和合函數”．

（1）若一次函數為“1屬和合函數”，則的值_________；

（2）已知二次函數，當時，是“屬和合函數”，則的取值范圍_________．

Answer 1

【答案】a＝1或a＝﹣1

【解析】

（1）分兩種情況：利用“k屬和合函數”的定義即可得出結論；

（2）分四種情況，各自確定出最大值和最小值，最后利用“k屬和合函數”的定義即可得出結論；

解：（1）當a＞0時，
∵1≤x≤5，
∴a-1≤y≤5a-1，
∵函數y=ax-1（1≤x≤5）為“1屬和合函數”，
∴（5a-1）-（a-1）=5-1，
∴a=1；
當a＜0時，（a-1）-（5a-1）=5-1，
∴a=-1，

∴a＝1或a＝-1；

（2）∵二次函數y=-3x2+6ax+a2+2a的對稱軸為直線x=a，
∵當-1≤x≤1時，y是“k屬和合函數”，
∴當x=-1時，y=a2-4a-3，
當x=1時，y=a2+8a-3，
當x=a時，y=4a2+2a，
①如圖1，當a≤-1時，
當x=-1時，有ymax=a2-4a-3，
當x=1時，有ymin=a2+8a-3
∴（a2-4a-3）-（a2+8a-3）=2k，
∴k=-6a，
∴k≥6；

②如圖2，當-1＜a≤0時，
當x=a時，有ymax=4a2+2a，
當x=1時，有ymin=a2+8a-3
∴（4a2+2a）-（a2+8a-3）=2k，
∴k=（a-1）2，
∴≤k＜6；

③如圖3，當0＜a≤1時，
當x=a時，有ymax=4a2+2a，
當x=-1時，有ymin=a2-4a-3
∴（4a2+2a）-（a2-4a-3）=2k，
∴k=＜k≤6；

④如圖4，當a＞1時，
當x=1時，有ymax=a2+8a-3，
當x=-1時，有ymin=a2-4a-3
∴（a2+8a-3）-（a2-4a-3）=2k，
∴k=-6a，
∴k＞6；

即：k的取值范圍為k≥.