Question

7．已知，點O是等邊△ABC內的任一點，連接OA，OB，OC．
（1）如圖1，已知∠AOB=150°，∠BOC=120°，將△BOC繞點C按順時針方向旋轉60°得△ADC．
①∠DAO的度數是90°；
②用等式表示線段OA，OB，OC之間的數量關系，并證明；
（2）設∠AOB=α，∠BOC=β．
①當α，β滿足什么關系時，OA+OB+OC有最小值？請在圖2中畫出符合條件的圖形，并說明理由；
②若等邊△ABC的邊長為1，直接寫出OA+OB+OC的最小值．

Answer 1

分析 （1）①根據周角的定義得到∠AOC=360°-120°-150°=90°，由于將△BOC繞點C按順時針方向旋轉60°得△ADC，于是得到∠OCD=60°，∠D=∠BOC=120°，根據四邊形的內角和即可得到結論；②如圖1，連接OD，由于△BOC繞點C按順時針方向旋轉60°得△ADC，得到△ADC≌△BOC，∠OCD=60°，根據全等三角形的性質得到CD=OC，∠ADC=∠BOC=120°，AD=OB，推出△OCD是等邊三角形，根據等邊三角形的性質得到OC=OD=CD，∠COD=∠CDO=60°，由于∠AOB=150°，∠BOC=120°，得到∠AOC=90°，求得∠AOD=30°，∠ADO=60°，根據勾股定理即可得到結論；
（2）①如圖2，由旋轉的性質得到O′C=OC，O′A′=OA，A′C=BC，∠A′O′C=∠AOC．．推出△OC O′是等邊三角形，根據等邊三角形的性質得到OC=O′C=OO′，∠COO′=∠CO′O=60°，由于∠AOB=∠BOC=120°，得到∠AOC=∠A′O′C=120°，推出四點B，O，O′，A′共線，即可得到結論，②根據①的結論即可得到結果．

解答 解：（1）①∠AOB=150°，∠BOC=120°，
∴∠AOC=360°-120°-150°=90°，
∵將△BOC繞點C按順時針方向旋轉60°得△ADC，
∴∠OCD=60°，∠D=∠BOC=120°，
∴∠DAO=360°-∠AOC-∠OCD-∠D=90°，
故答案為：90°；
②線段OA，OB，OC之間的數量關系是OA²+OB²=OC²，
如圖1，連接OD，
∵△BOC繞點C按順時針方向旋轉60°得△ADC，
∴△ADC≌△BOC，∠OCD=60°，
∴CD=OC，∠ADC=∠BOC=120°，AD=OB，
∴△OCD是等邊三角形，
∴OC=OD=CD，∠COD=∠CDO=60°，
∵∠AOB=150°，∠BOC=120°，
∴∠AOC=90°，
∴∠AOD=30°，∠ADO=60°，
∴∠DAO=90°，
在Rt△ADO中，∠DAO=90°，
∴OA²+OB²=OD²，
∴OA²+OB²=OC²；

（2）①當α=β=120°時，OA+OB+OC有最小值．
如圖2，將△AOC繞點C按順時針方向旋轉60°得△A′O′C，連接OO′，
∴△A′O′C≌△AOC，∠OCO′=∠ACA′=60°，
∴O′C=OC，O′A′=OA，A′C=BC，
∠A′O′C=∠AOC．
∴△OC O′是等邊三角形，
∴OC=O′C=OO′，∠COO′=∠CO′O=60°，
∵∠AOB=∠BOC=120°，
∴∠AOC=∠A′O′C=120°，
∴∠BOO′=∠OO′A′=180°，
∴四點B，O，O′，A′共線，
∴OA+OB+OC=O′A′+OB+OO′=BA′時值最小；
②∵∠AOB=∠BOC=120°，
∴∠AOC=120°，
∴O為△ABC的中心，
∵四點B，O，O′，A′共線，
∴BD⊥AC，
∵將△AOC繞點C按順時針方向旋轉60°得△A′O′C，
∴A′C=AC=BC，
∴A′B=2BD，
在Rt△BCD中，BD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴A′B=$\sqrt{3}$，
∴當等邊△ABC的邊長為1時，OA+OB+OC的最小值A′B=$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了旋轉的性質，等邊三角形的性質和判定，直角三角形的判定和性質，勾股定理，四邊形的內角和，周角的定義，正確的作出輔助線是解題的關鍵．