Question

8．如圖，E是正方形ABCD中CD邊上一點，以點A為中心把△ADE順時針旋轉90°．
（1）在圖中畫出旋轉后的圖形；
（2）若旋轉后E點的對應點記為M，點F在BC上，且∠EAF=45°，連接EF．
①求證：△AMF≌△AEF；
②若正方形的邊長為6，AE=3$\sqrt{5}$，則EF=5．

Answer 1

分析 （1）在CB的延長線上截取BM=DE，則△ABM滿足條件；
（2））①由旋轉性質得AM=AE，∠MAE=90°，則∠MAF=∠EAF=45°，則可根據“SAS”判斷△AMF≌△AEF；
②由△AMF≌△AEF得到EF=MF，即ME=BF+MB，加上BM=DE，所以EF=BF+DE，再利用勾股定理計算出DE=3，則CE=3，設EF=x，則BF=x-3，CF=9-x，然后在Rt△CEF中利用勾股定理得到（9-x）²+3²=x²，然后解方程求出x即可．

解答 （1）解：如圖，△ABM為所作；

（2）①證明：∵ABCD 是正方形，
∴∠BAD=90°，
∵△ADE繞點A順時針旋轉90°得到△ABM，
∴AM=AE，∠MAE=90°，
又∵∠EAF=45°，
∴∠MAF=45°，
∴∠MAF=∠EAF，
在△AMF和△AEF中
$\left\{\begin{array}{l}{AM=AE}\\{∠MAF=∠EAF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△AMF≌△AEF；
②解：∵△AMF≌△AEF，
∴EF=MF，
即ME=BF+MB，
而BM=DE，
∴EF=BF+DE，
在Rt△ADE中，DE=$\sqrt{（3\sqrt{5}）^{2}-{6}^{2}}$=3，
∴CE=6-3=3，
設EF=x，則BF=x-3，
∴CF=6-（x-3）=9-x，
在Rt△CEF中，∵CF²+CE²=EF²，
∴（9-x）²+3²=x²，解得x=5，
解EF=5．
故答案為5．

點評 本題考查了作圖-旋轉變換：根據旋轉的性質可知，對應角都相等都等于旋轉角，對應線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對應點，順次連接得出旋轉后的圖形．也考查了正方形的性質和全等三角形的判定與性質．