Question

【題目】如圖，PQ為圓O的直徑，點B在線段PQ的延長線上，OQ=QB=1，動點A在圓O的上半圓運動（含P、Q兩點），以線段AB為邊向上作等邊三角形ABC．

（1）當線段AB所在的直線與圓O相切時，求△ABC的面積（圖1）；

（2）設∠AOB=α，當線段AB、與圓O只有一個公共點（即A點）時，求α的范圍（圖2，直接寫出答案）；

（3）當線段AB與圓O有兩個公共點A、M時，如果AO⊥PM于點N，求CM的長度（圖3）．

Answer 1

【答案】（1）；（2）0°≤α≤60°；（3）．

【解析】

試題分析：（1）連接OA，過點B作BH⊥AC，垂足為H，如圖1所示．∵AB與⊙O相切于點A，∴OA⊥AB．∴∠OAB=90°．∵OQ=QB=1，∴OA=1．∴AB===．∵△ABC是等邊三角形，∴AC=AB=，∠CAB=60°．∵sin∠HAB=，∴HB=ABsin∠HAB=×=．∴S△ABC=ACBH=××=．∴△ABC的面積為．

（2）①當點A與點Q重合時，線段AB與圓O只有一個公共點，此時α=0°；

②當線段A1B所在的直線與圓O相切時，如圖2所示，線段A1B與圓O只有一個公共點，此時OA1⊥BA1，OA1=1，OB=2，∴cos∠A1OB==．∴∠A1OB=60°．∴當線段AB與圓O只有一個公共點（即A點）時，α的范圍為：0°≤α≤60°．

（3）連接MQ，如圖3所示．∵PQ是⊙O的直徑，∴∠PMQ=90°．∵OA⊥PM，∴∠PNO=90°．

∴∠PNO=∠PMQ．∴ON∥MQ．∴△PNO∽△PMQ．∴==，∵PO=OQ=PQ．∴PN=PM，ON=MQ．同理：MQ=AO，BM=AB．∵AO=1，∴MQ=．∴ON=．∵∠PNO=90°，PO=1，ON=，∴PN=．∴PM=．∴NM=．∵∠ANM=90°，AN=A0﹣ON=，∴AM===．∵△ABC是等邊三角形，∴AC=AB=BC，∠CAB=60°．∵BM=AB，∴AM=BM．∴CM⊥AB．∵AM=，∴BM=，AB=．∴AC=．∴CM===．∴CM的長度為．