Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，E、F分別為BC、CD的中點，連接AE、BF交于點G，將△BCF沿BF對折，得到△BPF，延長FP交BA的延長線于點Q，則下列結論：

①AE=BF；②S四邊形ECFG=S△ABG；③△BFQ是等腰三角形；④．

其中一定正確的個數是（　　）

A.1個B.2個C.3個D.4個

Answer 1

【答案】D

【解析】

①根據正方形的性質和已知條件證明△ABE≌△BCF即可；②根據三角形ABE和三角形BFC面積相等即可證明S四邊形ECFG＝S△ABG；③根據折疊可得∠CFB＝∠PFB，由DC∥AB得∠CFB＝∠FBA，等量代換后即可證明△BFQ是等腰三角形；④可以設正方形邊長為1，AQ＝x，AH＝y，作FI⊥AB于點I，進而根據同角三角函數值相等用含x的式子表示y，然后求出QH，利用勾股定理列出方程求出x的值，即可得到．

解：①∵在正方形ABCD中，E、F分別為BC、CD的中點，

∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，BE=CF，

∴△ABE≌△BCF（SAS），

∴AE=BF，故①正確；

②∵△ABE≌△BCF，

∴S△BCF=S△ABE，

∴SBCF﹣S△BGE=S△ABE﹣S△BGE，即S四邊形ECFG=S△ABG，故②正確；

③∵由折疊可知：∠CFB=∠PFB，

∵DC∥AB，

∴∠CFB=∠FBA，

∴∠PFB=∠FBA，

∴QF=QB，

∴△BFQ是等腰三角形，故③正確；

④如圖所示：

設PQ與AD交于點H，作FI⊥AB于點I，則四邊形DAIF是矩形，

設正方形ABCD邊長為1，AQ=x，AH=y，

則FI=AD=1，AI=，QI=x+，

在Rt△AQH和Rt△FIQ中，tan∠Q=，即，

∴y=，

∵AH∥FI，

∴，即，

∴，

在Rt△AHQ中，根據勾股定理得：x2+y2=y2（1+x）2，

∴x2+（）2=（）2（1+x）2，

解得：x=，

經檢驗，x=是方程的解，

∴BQ，

∴，故④正確．

∴正確的是①②③④，

故選：D．