Question

【題目】如圖，AB⊥BC，射線CM⊥BC，且BC=4，AB=1，點P是線段BC（不與點B、C重合）上的動點，過點P作DP⊥AP交射線CM于點D，連結AD．

(1)如圖1，若BP=3，求△ABP的周長；

(2)如圖2，若DP平分∠ADC，試猜測PB和PC的數量關系，并說明理由；

(3)若△PDC是等腰三角形，作點B關于AP的對稱點B′，連結B′D，則B′D=_____．（請直接寫出答案）

Answer 1

【答案】（1）+5；（2）PB=PC；（3）5

【解析】

試題（1）根據勾股定理直接求出AP的值就可以求出結論；

（2）延長線段AP、DC交于點E，就可以得出△DPA≌△DPE，就有AP=PE，在證明△APB≌△EPC就可以得出結論；

（3）連接AB′，PB′，作B′E⊥CD于E，就可以得出PB′=CE=1，DE=2，在Rt△B′DE中由勾股定理就可以求出結論．

試題解析：（1）∵AB⊥BC∴∠ABP=90°，

∴AP2=AB2+BP2，

∴AP＝=＝，

∴AP+AB+BP=+1+4=+5

∴△APB的周長為+5；

（2）PB=PC，

理由如下：

延長線段AP、DC交于點E

∵DP平分∠ADC，

∴∠ADP=∠EDP．

∵DP⊥AP，

∴∠DPA=∠DPE=Rt∠．

在△DPA和△DPE中

，

∴△DPA≌△DPE（ASA），

∴PA=PE．

∵AB⊥BP，CM⊥CP，

∴∠ABP=∠ECP=Rt∠．

在△APB和△EPC中

，

∴△APB≌△EPC（AAS），

∴PB=PC；

（3）答案為：5．