Question

某科技開發公司研制出一種新型產品，每件產品的成本為2400元，銷售單價定為3000元，在該產品的試銷期間，公司決定組織一次促銷活動，促銷期間該產品的售價單位y（元）與銷售數量x（件）的函數關系如圖所示．
（1）求當10≤x≤50時，y與x之間的函數關系式．
（2）設商家一次性購買這種產品m件，開發公司所獲得的利潤為z元，求z與m之間的函數關系式．
（3）當商家一次性購買產品的件數超過某一數量時，是否存在隨著一次性購買數量的增多，公司所獲得的利潤反而減少這種情況？若存在，求出在這種情況下，m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）當10≤x≤50時，設y與x之間的函數關系式：y=kx+b，
把點（10，3000）、（50，2600）代入解析式得：，
解得：，
故當y與x之間的函數關系式y=-10x+3100；

（2）當0＜x＜10時，y=3000，
則z=（y-2400）m=600m
當10≤x≤50時，y=-10m+3100，
則z=（y-2400）m=-10m²+700m；
當x＞50時，y=2600，
則z=（y-2400）m=200m，
故利潤z與m的關系式為：
；

（3）當10≤x≤50時，則z=-10m²+700m=-10（m-35）²+12250，
∵-10＜0，故開口向下，
對稱軸為m=35，
當35＜m＜50時，圖象中隨著m的增大，y值減小，
∴存在這種情況，此時35＜m＜50．
分析：（1）當10≤x≤50時，設y與x之間的函數關系式：y=kx+b，把圖象上點的坐標代入，求得k，b的值即可求出解析式；
（2）根據利潤=（售價-成本）銷售數量，在x不同范圍內，非別求出解析式；
（3）利用配方法，找出二次函數的對稱軸，根據圖象找出m的范圍即可．
點評：本題考查了二次函數的應用，難度一般，解答本題的關鍵是根據題意和函數上的坐標求出關系式，將實際問題轉變為數學問題來作答．