Question

15．如圖，在矩形ABCD中，E是BC邊上的點，AE=BC，DF⊥AE，垂足為F，連接DE，若AD=10，AB=6，則tan∠EDF的值是$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 根據矩形的對邊平行且相等得到AD=BC=AE，∠DAF=∠EAB．再結合一對直角相等即可證明△ABE≌△DFA；然后根據全等三角形的對應邊相等證明AB=DF；根據全等三角形的對應邊相等以及勾股定理，可以求得DF，EF的長；再根據勾股定理求得DE的長，運用三角函數定義求解．

解答 解：在Rt△ABE中，BE=$\sqrt{AE^2-AB^2}$=$\sqrt{10^2-6^2}$=8．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠DAF=∠AEB．
又∵AE=BC，∴AE=AD．
在△ABE與△DFA中，$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠DFA}\\{∠AEB=∠DAF}\\{AE=DA}\end{array}\right.$，
∴△EAB≌△ADF（AAS），
∴DF=AB=6，AF=EB=8．
∴EF=AE-AF=10-8=2．
∴tan∠EDF=$\frac{EF}{DF}$=$\frac{2}{6}$=$\frac{1}{3}$．
故答案是：$\frac{1}{3}$．

點評 本題綜合考查了矩形的性質、全等三角形的判定與性質及銳角三角函數的定義．熟練運用矩形的性質和判定，能夠找到證明全等三角形的有關條件；運用全等三角形的性質求得三角形中的邊，再根據銳角三角函數的概念求解．