Question

【題目】如圖1，在矩形中，為邊上一點，．將沿翻折得到，的延長線交邊于點，過點作交于點．

（1）求證：；

（2）如圖2，連接分別交、于點、．若，探究與之間的數量關系．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）．

【解析】

（1）過點作于點，根據矩形的判定可得四邊形和四邊形是矩形，從而得出，，，然后證出，列出比例式，再利用等量代換即可得出結論；

（2）設，則，先證出，可得，然后證出，可得，即可求出EF和AC的關系，從而求出與之間的數量關系．

（1）證明：過點作于點，如圖1所示：

則四邊形和四邊形是矩形，

∴，，，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

即；

（2）解：∵，

∴設，則，

由（1）可知：，，

∵，

∴，

∴，

，

∵，

∴，

∴，

∴，

根據翻折的性質可得

∵DC∥AB，∠APB=90°

∴＋∠BPM=90°，∠PAM＋∠PBM=90°

∴∠BPM=∠PBM

∴MP=MA，MP=MB

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴．