Question

已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．
（1）如圖，D為AC上任一點，連接BD，過A點作BD的垂線交過C點與AB平行的直線CE于點E．求證：BD=AE．

（2）若點D在AC的延長線上，如圖，其他條件同（1），請畫出此時的圖形，并猜想BD與AE是否仍然相等？說明你的理由．

Answer 1

證明：（1）∵AB∥CE，
∴∠BAF=∠AEC，∠BAC+∠ACE=180°，
∵∠BAC=90°，
∴∠ACE=90°，
，∵AF⊥BD，
∴∠ABD+∠BAF=90°，∠EAC+∠BAF=90°，
∴∠ABD=∠CAE
在△ABD和△CAE中，

∴△ABD≌△CAE（AAS）
∴BD=AE．

（2）BD與AE仍然相等，
證明：過點C作AB∥CE，過點A作AE⊥BD于點F，
∵AB∥CE，
∴∠BAE=∠AEC，∠BAC+∠ACE=180°，
∵∠BAC=90°，
∴∠ACE=90°，
，∵AF⊥BD，
∴∠ABD+∠BAF=90°，∠EAC+∠BAF=90°，
∴∠ABD=∠CAE
在△ABD和△CAE中，

∴△ABD≌△CAE（ASA）
∴BD=AE．
分析：（1）先證∠ABD=∠CAE，再證△ABD≌△CAE即可得出答案．
（2）根據題意畫出圖形，然后可根據△ABD≌△ACE得出結論．
點評：本題考查等腰三角形的性質，難度不大，注意利用全等三角形的知識證明線段的相等．