Question

【題目】如圖，已知：⊙O的直徑AB與弦AC的夾角∠A＝30°，過點C作⊙O的切線交AB的延長線于點P．

（1）求證：AC＝CP；

（2）若PC＝6，求圖中陰影部分的面積（結果精確到0.1）．（參考數據：，π＝3.14）

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）4.1

【解析】

（1）連接OC．根據圓周角定理即可求得∠COP＝2∠ACO＝60°，根據切線的性質定理以及直角三角形的兩個銳角互余，求得∠P＝30°，即可證明；

（2）陰影部分的面積即為Rt△OCP的面積減去扇形OCB的面積．

（1）證明：連接OC．

∵AB是⊙O的直徑，

∴AO＝OC，

∴∠ACO＝∠A＝30°．

∴∠COP＝2∠ACO＝60°．

∵PC切⊙O于點C，

∴OC⊥PC．

∴∠P＝30°．

∴∠A＝∠P．

∴AC＝PC．

（2）解：在Rt△OCP中，tan∠P=，∴,

∵ 且S扇形COB＝2π，

∴S陰影＝S△OCP﹣S扇形COB