Question

【題目】已知O為正方形ABCD的中心，M為射線OD上一動點(M與點O，D不重合)，以線段AM為一邊作正方形AMEF，連接FD.

(1)當點M在線段OD上時(如圖1)，線段BM與DF有怎樣的數量及位置關系？請說明理由；

(2)當點M在線段OD的延長線上時(如圖2)，(1)中的結論是否仍然成立？請結合圖2說明理由.

Answer 1

【答案】(1)BM＝DF，BM⊥DF.理由見解析；(2)BM＝DF，BM⊥DF仍然成立，理由見解析.

【解析】

（1）根據圖形，由正方形的性質證得△FAD≌△MAB，進而求出BM＝DF，∠FDA＝∠ABD＝45°，結合已知條件即可推出BM=DF，BM⊥DF；
（2）成立，根據正方形的性質，推出△ABM≌△ADF，根據正方形的性質推出∠BAM=∠DAF，△ABM≌△ADF，進而求出BM=DF，∠ABM=∠ADF，∠BDF=∠ADB+∠ADF=90°即可.

(1)BM＝DF，BM⊥DF.

理由：∵四邊形ABCD，AMEF均為正方形，

∴AF＝AM，AD＝AB，∠FAM＝∠DAB＝90°，

∴∠FAM－∠DAM＝∠DAB－∠DAM，即∠FAD＝∠MAB.

在△FAD和△MAB中，

∴△FAD≌△MAB(SAS)，∴BM＝DF，∠FDA＝∠ABD＝45°.

∵∠ADB＝45°，∴∠FDB＝45°＋45°＝90°.∴BM⊥DF，即BM＝DF，BM⊥DF.

(2)BM＝DF，BM⊥DF仍然成立，

理由：∵四邊形ABCD和AMEF均為正方形，∴AB＝AD，AM＝AF，∠BAD＝∠MAF＝90°，

∴∠FAM＋∠DAM＝∠DAB＋∠DAM，即∠FAD＝∠MAB.

在△FAD和△MAB中，

∴△FAD≌△MAB(SAS)，∴BM＝DF，∠ABM＝∠ADF.

由正方形ABCD知，∠ABM＝∠ADB＝45°，

∴∠BDF＝∠ADB＋∠ADF＝90°，即BM⊥DF.

∴(1)中的結論仍成立.