Question

已知⊙的半徑為1，以為原點，建立如圖所示的直角坐標系．有一個正方形，頂點的坐標為（，0），頂點在軸上方，頂點在⊙上運動．

（1）當點運動到與點、在一條直線上時，與⊙相切嗎？如果相切，請說明理由，并求出所在直線對應的函數表達式；如果不相切，也請說明理由；

（2）設點的橫坐標為，正方形的面積為，求出與的函數關系式，并求出的最大值和最小值．

 

Answer 1

【答案】

（1）CD與⊙O相切 （2），S的最大值為，S的最小值為

【解析】

試題分析：（1）因為A、D、O在一直線上，，

所以∠COD=90°，所以CD是⊙O的切線 

CD與⊙O相切時，有兩種情況：

① 點在第二象限時（如圖①），

設正方形ABCD的邊長為a，

則，

解得，或（舍去）

過點D作DE⊥OB于E，則Rt△ODE≌Rt△OBA，

所以，

所以DE=，OE=，

所以點D₁的坐標是（-，）

所以OD所在直線對應的函數表達式為 

②切點在第四象限時（如圖②），

設正方形ABCD的邊長為b，則，

解得（舍去），或 

過點D作DF⊥OB于F，則Rt△ODF∽Rt△OBA，

所以，

所以OF=，DF=，

所以點D₂的坐標是（，-）        

所以OD所在直線對應的函數表達式為

（2）過點D作DG⊥OB于G，連接BD、OD，

則

= 

所以 

因為，所以S的最大值為，

S的最小值為

考點：函數圖象與幾何的結合

點評：作為試卷的壓軸題，難度一般都不小，此類題目，只能通過多做多練，尋找其中的規律