Question

【題目】已知⊙O經過四邊形ABCD的B、D兩點，并與四條邊分別交于點E、F、G、H，且．

（1）如圖①，連接BD，若BD是⊙O的直徑，求證：∠A＝∠C；

（2）如圖②，若的度數為θ，∠A＝α，∠C＝β，請直接寫出θ、α和β之間的數量關系．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）α+β+θ =180°

【解析】

（1）根據圓周角定理及同弧所對的圓周角相等，得到∠EDF＝∠HDG，然后利用外角的性質等量代換求證；

（2）利用外角性質及圓內接四邊形對角互補求解.

（1） 連接DF、DG

∵BD是⊙O的直徑

∴∠DFB＝∠DGB =90°，

∵

∴∠EDF＝∠HDG，

∵∠DFB＝∠EDF+∠A

∠DGB＝∠HDG+∠C，

∴∠A＝∠C

（2）

連接DF,BH

∵

∴∠ADF=∠HBG=θ

又∵∠DFB=∠A+∠ADF,∠DHB=∠C+∠HBG

∴∠DFB+∠DHB=∠A+∠ADF+∠C+∠HBG

根據圓內接四邊形對角互補，可得

∴α+β+θ =180°