Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，點G為弧BC上一動點，CG與AB的延長線交于點F，連接OD．

（1）判定∠AOD與∠CGD的大小關系為　 　，并求證：GB平分∠DGF．

（2）在G點運動過程中，當GD＝GF時，DE＝4，BF＝，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1），證明見解析；（2）5.

【解析】

（1）由垂徑定理得出，由圓周角定理即可得出∠AOD=∠CGD；連接BG、BC、BD，由垂徑定理得出，由圓周角定理得出∠BCD=∠BGD=∠BDC，由四邊形BDCG為圓內接四邊形，得出∠BGF=∠BDC，推出∠BGD=∠BGF，即可得出結論；
（2）由SAS證得△BGD≌△BGF，得出BD=BF=4，由勾股定理得出BE=8，設⊙O的半徑為r，則OE=8-r，在Rt△ODE中，根據勾股定理即可求得答案．

（1）∠AOD=∠CGD；理由如下：

∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，

∴，

∴∠AOD=∠CGD，

故答案為：∠AOD=∠CGD；

連接BG、BC、BD，如圖所示：

∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，

∴，

∴∠BCD=∠BGD=∠BDC，

∵四邊形BDCG為圓內接四邊形，

∴∠BGF=∠BDC，

∴∠BGD=∠BGF，

∴GB平分∠DGF；

（2）在△BGD和△BGF中，，

∴△BGD≌△BGF（SAS)，

∴BD=BF=4，

，

設⊙O的半徑為r，則OE=8﹣r，

在Rt△ODE中，，

解得：，即⊙O的半徑為5．