Question

【題目】如圖，Rt△AOB∽Rt△DOC，∠ABO＝30°，∠AOB＝∠COD＝90°，M為OA的中點，OA＝4，將△COD繞點O旋轉一周，直線AD，CB交于點P，連接MP，則MP的最小值是_________．

Answer 1

【答案】4-2

【解析】

根據相似三角形的判定定理證明△COB∽△DOA，得到∠OBC=∠OAD，得到∠APB=∠AOB=90°，求出MS和PS，根據三角形三邊關系解答即可．

如圖：

取AB的中點S，連接MS、PS，

則PS-MS≤PM≤MS+PS，

∵∠AOB=90°，OA=4，∠ABO=30°，

∴AB=2OA=8，OB=4，

∵∠AOB=∠COD=90°，

∴∠COB=∠DOA，

∵△AOB∽△DOC，

∴，

∴△COB∽△DOA，

∴∠OBC=∠OAD，

∵∠OBC+∠PBO=180°，

∴∠OAD+∠PBO=180°，∠AOB+∠APB=180°，

∴∠APB=∠AOB=90°，又S是AB的中點，

∴PS=AB=4，

∵M為OA的中點，S是AB的中點，

∴MS=OB=，

∴MP的最小值為4-，

故答案為：4-．