Question

【題目】在中， AB為直徑， C 為上一點。

（1）如圖 1. 過點 C 作 O 的切線 , 與 AB 的延長線相交于點 P, 若 ∠CAB=27°，求 ∠P 的大小；

（2）如圖 2,D 為上一點 , 且 OD 經過 AC 的中點 E, 連接 DC 并延長 , 與 AB 的延長線相交于點 P, 若 ∠CAB=10°，求 ∠P 的大小.

Answer 1

【答案】（1）36；（2）30°.

【解析】

（1）連接OC，首先根據切線的性質得到∠OCP=90°，利用∠CAB=27°得到∠COB=2∠CAB=54°，然后利用直角三角形兩銳角互余即可求得答案；

（2）根據E為AC的中點得到OD⊥AC，從而求得∠AOE=90°-∠EAO=80°，然后利用圓周角定理求得∠ACD=∠AOD=40°，最后利用三角形的外角的性質求解即可.

解：（1）如圖，連接OC，

∵⊙O與PC相切于點C，

∴OC⊥PC，即∠OCP=90°，

∵∠CAB=27°，

∴∠COB=2∠CAB=54°，

在Rt△AOE中，∠P+∠COP=90°，

∴∠P=90°-∠COP=36°，

（2）∵E為AC的中點，

∴OD⊥AC，即∠AEO=90°，

在Rt△AOE中，由∠EAO=10°，

得∠AOE=90°-∠EAO=80°，

∴∠ACD=∠AOD=40°，

∵∠ACD是△ACP的一個外角，

∴∠P=∠ACD-∠A=40°-10°=30°.