Question

【題目】通過解方程（組）使問題得到解決的思維方式就是方程思想，已學過的《勾股定理》及《一次函數》都與它有密切的聯系，最近方程家族的《一元二次方程》我們也學習了它的求解方法和應用。如圖1，矩形中，在上，且，點從點出發，以1個單位每秒的速度在邊上向點運動，設點的運動時間為秒。

（1）的面積為，求關于的函數關系式，并求出時的值；

（2）在點從點向運動的過程中，是否存在使的時刻？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由；

（3）如圖2，分別是的中點，在點從向運動的過程中，線段掃過的圖形是什么形狀_________________，并直接寫出它的面積___________________________。

Answer 1

【答案】（1）x=8；（2）存在，x=6；（3）平行四邊形，15.

【解析】

（1），，然后依據的面積矩形的面積三個直角三角形的面積可得到與的函數關系式，然后將代入函數關系式可求得的值；

（2）先依據勾股定理求得、、的長，然后依據勾股定理的逆定理列出關于的方程，從而可求得的值；

（3）確定出點分別與點和點重合時，點、的位置，然后依據三角形的中位線定理可證明，，從而可判斷出掃過區域的形狀，然后依據平行四邊形的面積公式求解即可．

解：（1）四邊形為矩形，

，．

，

．

，，

，

整理得：．

當時，，

解得：．

（2）存在．理由如下：

，，，，

，，．

當時，，

，

整理得：，

配方得：，

解得：．

（3）如圖所示：

當點與點重合時，點位于處，點位于點處，

為的中點，點位的中點．

當點與點重合時，點位于處，點位于點處，

為的中點，點位的中點．

，，，．

，．

四邊形為平行四邊形．

掃過的區域為平行四邊形．

故答案為：平行四邊形；15．