Question

【題目】如圖①，已知點在線段上，在和中，，，

，且為的中點.

（1）連接并延長交于，求證：；

（2）直接寫出線段與的關系： ；

（3）若將繞點逆時針旋轉，使點在線段的延長線上（如圖②所示位置），則（2）中的結論是否仍成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2），；（3）成立，證明見解析；

【解析】

（1）由∠ABC＝∠ADE＝90°可推出DE∥BC，再根據平行線的性質，推出∠DEM＝∠MCN，根據ASA證明△EMD≌△CMN，求出CN＝ED，即可得到CN＝AD；

（2）由（1）可知CN＝AD，DM＝MN，再由AB＝BC，可得BD＝BN，從而可得△DBN是等腰直角三角形，且BM是底邊DN上的中線，即可得到，BM⊥DM；

（3）作CN∥DE交DM的延長線于N，連接BN，根據平行線的性質求出∠EDM＝∠CNM，利用AAS證明△EMD≌△CMN，得到CN＝DE＝DA，MN＝MD，∠E＝∠NCM＝45°，然后根據SAS證△DBA≌△NBC，推出△DBN是等腰直角三角形，且BM是底邊的中線，根據等腰直角三角形的性質即可進行證明．

解：（1）∵AD＝DE，AB＝BC，，

∴△ABC和△ADE為等腰直角三角形，，

∴DE∥BC，

∴∠DEM＝∠NCM，

在△EMD和△CMN中，，

∴△EMD≌△CMN（ASA），

∴CN＝DE，

∵AD＝DE，

∴CN＝AD；

（2），BM⊥DM，

理由：由（1）得：△EMD≌△CMN，

∴CN＝AD，DM＝MN，

∵BA＝BC，

∴BD＝BN，

∴△DBN是等腰直角三角形，且BM是底邊的中線，

∴，BM⊥DM；

（3），BM⊥DM仍成立，

證明：如圖，作CN∥DE交DM的延長線于N，連接BN，

∴∠EDM＝∠CNM，

在△EMD與△CMN中，，

∴△EMD≌△CMN（AAS），

∴CN＝DE＝DA，MN＝MD，∠E＝∠NCM＝45°，

又∵∠DAB＝180°∠DAE∠BAC＝90°，∠BCN＝∠BCM＋∠NCM＝45°＋45°＝90°，

∴∠DAB＝∠BCN，

在△DBA和△NBC中，，

∴△DBA≌△NBC（SAS），

∴∠DBA＝∠NBC，DB＝BN，

∴∠DBN＝∠ABC＝90°，

∴△DBN是等腰直角三角形，且BM是底邊的中線，

∴，BM⊥DM．