Question

【題目】閱讀并解答：

①方程x2﹣2x+1＝0的根是，則有．

②方程2x2﹣x﹣2＝0的根是＝，＝，則有，．

③方程3x2+4x﹣7＝0的根是，，則有，．

（1）根據以上①②③請你猜想：如果關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有兩個實數根為，那么與系數a、b、c有什么關系？請寫出你的猜想并證明你的猜想；

（2）利用你的猜想結論，解決下面的問題：

已知關于x的方程x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0有實數根，且，求k的值

Answer 1

【答案】（1），，證明見解析；（2）1.

【解析】

（1）由①②③中兩根之和與兩根之積的結果可以看出，兩根之和正好等于一次項系數與二次項系數之比的相反數，兩根之積正好等于常數項與二次項系數之比．

（2）欲求k的值，先把代數式x12+x22變形為兩根之積或兩根之和的形式，然后與兩根之和公式、兩根之積公式聯立組成方程組，解方程組即可求k值．

（1）猜想為：設ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根為x1、x2，則有，．

理由：設x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根，

那么由求根公式可知，，．

于是有，，

綜上得，設ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根為x1、x2，

則有，．

（2）x1、x2是方程x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0的兩個實數根

∴x1+x2＝﹣（2k+1），x1x2＝k2﹣2，

又∵x12+x22＝x12+x22+2x1x2﹣2x1x2＝（x1+x2）2﹣2x1x2

∴[﹣（2k+1）]2﹣2×（k2﹣2）＝11

整理得k2+2k﹣3＝0，

解得k＝1或﹣3，

又∵△＝[﹣（2k+1）]2﹣4（k2﹣2 ）≥0，解得k≥﹣，

∴k＝1．