Question

【題目】如圖1，已知：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，△ABC內一點P將三個內角分成6個角（即∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6）.

（1）若∠1=∠3=∠5，求的值；

（2）如圖2，已知：AP=AC.

①若PB=PC，求證：∠1=2∠4；

②若∠1=30°，求證：PB=PC.

Answer 1

【答案】（1）2:5；（2）①證明見解析；②證明見解析.

【解析】試題分析：（1）根據題意可知∠APC=90°，然后根據相似三角形的判定與性質，結合勾股定理可求解；

（2）①根據等腰三角形的等邊對等角，結合三角形的內角和定理可證明；

②過P作PD⊥AC于D，PE⊥BC于E， 易得四邊形PDCE為矩形，然后根據30°角的直角三角形和線段的垂直平分線的性質可求解.

試題解析：（1）∵AC=BC ∠ACB=90°, ∴∠CAB=∠ABC=45°.

∵∠1=∠3=∠5 , ∴∠2=∠4 ,∴∠APB=180°-（∠2+∠3）=180°-45°=135°，

同理，∠BPC=135°. ∴∠APC=90°

設AC=a，PC=x，則，易證：△APB∽△BPC,∴，

∴， ，在Rt△PAC中， ;∴

∵， ，

∴；

（2）①∵PB=PC，則∠4=∠5，設∠4=∠5=，

∵AP=AC，則∠6=∠APC=90°，即∠1=180°-2（90°）=2，

即∠1=2∠4；

②如圖所示，過P作PD⊥AC于D，PE⊥BC于E，

易得四邊形PDCE為矩形，

在直角△APD中，∠1=30°，∴PD=PA，

又AP=AC=BC，∴PD=CE=BC，即PF垂直平分BC，

∴PB=PC.