Question

【題目】已知為直徑，是直徑上一動點（不與點，，重合），過點作直線交于，兩點，是上一點（不與點，重合），且，直線交直線于點．

如圖，當點在線段上時，試判斷與的大小關系，并證明你的結論；

當點在線段上，且時，其它條件不變．

①請你在圖中畫出符合要求的圖形，并參照圖標記字母；

②判斷中的結論是否還成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

（1）AE=BE，可根據垂徑定理得出弧AB=弧BH，已知了弧AB=弧AF，因此弧BH=弧AF，根據圓周角定理可得出∠BAH=∠ABF根據等角對等邊即可得出AE=BE．（方法不唯一）
（2）結論不變，證法同（1），根據垂徑定理可得出弧AC=弧CH，因此弧AB=弧BH，由于弧AB=弧AF，因此弧AF=弧BH，即∠BAE=∠ABE，因此AE=BE．

證法①：

∵為直徑，于點

∴

又∵

∴

∴

∴．

證法②：

連，

∵是直徑，于點

∴

∴，

∴

∵

∴

又∵

∴

∴

∴．

證法③：

連接，交于點

∵

∴

又∵

∴

又∵

∴

∴

∵

∴

∴

∴

①所畫圖形如圖所示，成立

證法①：

∵是直徑，于點

∴

又

∴

∴

∴．

證法②：

連接，

∵是直徑，于點

∴

∵

∴

又∵

∴

又∵

∴

∴．

證法③：

連接并延長交于點

∵，過圓心

∴

又∵于點

∴

又∵為直徑，

∴

又∵

∴

∴

∴．