Question

【題目】如果一個正整數能表示為兩個連續偶數的平方差，那么稱這個正整數為“神秘數”.

如：，，，因此，，這三個數都是神秘數.

(1)是神秘數嗎？為什么？

(2)設兩個連續偶數為和(其中取非負整數)，由這兩個連續偶數構造的神秘數是的倍數嗎？為什么？

(3)①若長方形相鄰兩邊長為兩個連續偶數，試說明其周長一定為神秘數.

②在①的條件下，面積是否為神秘數？為什么？

Answer 1

【答案】（1）是，見詳解；（2）是，見詳解；（3）①見詳解，②是，見詳解

【解析】

（1）根據“神秘數”的定義，只需看能否把28這個數寫成兩個連續偶數的平方差即可判斷；
（2）運用平方差公式進行計算，進而判斷即可；
（3）①運用周長公式進行計算，進而判斷即可，②運用面積公式進行計算，進而判斷即可．

解：（1）28是“神秘數”，理由如下：
∵28=82-62，能表示為兩個連續偶數的平方差，
∴28是“神秘數”；
（2）“神秘數”是4的倍數．理由如下：
∵（2k+2）2-（2k）2=（2k+2+2k）（2k+2-2k）=2（4k+2）=4（2k+1），
∴“神秘數”是4的倍數；

（3）①設兩個連續的偶數為：2k，2k+2(其中取非負整數)，

則周長=，
而由（2）知“神秘數”可表示為4（2k+1），
∴長方形相鄰兩邊長為兩個連續偶數，則其周長一定為神秘數．

②長方形的面積=，

∵取非負整數，

∴在①的條件下，面積是神秘數.