Question

【題目】如圖，頂點M在y軸上的拋物線與直線y=x+1相交于A、B兩點，且點A在x軸上，點B的橫坐標為2，連結AM、BM．

（1）求拋物線的函數關系式；

（2）判斷△ABM的形狀，并說明理由；

（3）把拋物線與直線y=x的交點稱為拋物線的不動點．若將（1）中拋物線平移，使其頂點為（m，2m），當m滿足什么條件時，平移后的拋物線總有兩個不動點．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣1；（2））△ABM為直角三角形，理由詳見解析；（3）當m＜時，平移后的拋物線總有兩個不動點．

【解析】

（1）由條件可分別求得A、B的坐標，設出拋物線解析式，利用待定系數法可求得拋物線解析式；

（2）結合（1）中A、B、C的坐標，根據勾股定理可分別求得AB、AM、BM，可得到AB2+AM2=BM2，可判定△ABM為直角三角形；

（3）由條件可寫出平移后的拋物線的解析式，聯立y=x，可得到關于x的一元二次方程，根據根的判別式可求得m的范圍．

（1）∵A點為直線y=x+1與x軸的交點，

∴A（﹣1，0），

又B點橫坐標為2，代入y=x+1可求得y=3，

∴B（2，3），

∵拋物線頂點在y軸上，

∴可設拋物線解析式為y=ax2+c，

把A、B兩點坐標代入可得，

解得，

∴拋物線解析式為y=x2﹣1；

（2）△ABM為直角三角形．理由如：

由（1）拋物線解析式為y=x2﹣1可知M點坐標為（0，﹣1），

∴AM=，AB=，BM=，

∴AM2+AB2=2+18=20=BM2，

∴△ABM為直角三角形；

（3）當拋物線y=x2﹣1平移后頂點坐標為（m，2m）時，其解析式為y=（x﹣m）2+2m，即y=x2﹣2mx+m2+2m，

聯立y=x，可得，

消去y整理可得x2﹣（2m+1）x+m2+2m=0，

∵平移后的拋物線總有不動點，

∴方程x2﹣（2m+1）x+m2+2m=0有兩個不等的實數根，

∴△＞0，即（2m+1）2﹣4（m2+2m）≥0，

解得m＜，

即當m＜時，平移后的拋物線總有兩個不動點．