Question

已知拋物線y₁=ax²+bx+c（a≠0，a≠c）過點A（1，0），頂點為B，且拋物線不經過第三象限．

（1）使用a、c表示b；

（2）判斷點B所在象限，并說明理由；

（3）若直線y₂=2x+m經過點B，且與該拋物線交于另一點C（），求當x≥1時y₁的取值范圍．

Answer 1

【考點】二次函數綜合題．

【專題】壓軸題．

【分析】（1）拋物線經過A（1，0），把點代入函數即可得到b=﹣a﹣c；

（2）判斷點在哪個象限，需要根據題意畫圖，由條件：圖象不經過第三象限就可以推出開口向上，a＞0，只需要知道拋物線與x軸有幾個交點即可解決，判斷與x軸有兩個交點，一個可以考慮△，由△就可以判斷出與x軸有兩個交點，所以在第四象限；或者直接用公式法（或十字相乘法）算出，由兩個不同的解，進而得出點B所在象限；

（3）當x≥1時，y₁的取值范圍，只要把圖象畫出來就清晰了，難點在于要觀察出是拋物線與x軸的另一個交點，理由是，由這里可以發現，b+8=0，b=﹣8，a+c=8，還可以發現C在A的右側；可以確定直線經過B、C兩點，看圖象可以得到，x≥1時，y₁大于等于最小值，此時算出二次函數最小值即可，即求出即可，已經知道b=﹣8，a+c=8，算出a，c即可，即可得出y₁的取值范圍．

【解答】解：（1）∵拋物線y₁=ax²+bx+c（a≠0，a≠c），經過A（1，0），

把點代入函數即可得到：b=﹣a﹣c；

（2）B在第四象限．

理由如下：

∵拋物線y₁=ax²+bx+c（a≠0，a≠c）過點A（1，0），

∵x₁•x₂=，

∴，

所以拋物線與x軸有兩個交點，

又∵拋物線不經過第三象限，

∴a＞0，且頂點在第四象限；

（3）∵，且在拋物線上，

當b+8=0時，解得b=﹣8，

∵a+c=﹣b，

∴a+c=8，

把B（﹣，）、C（，b+8）兩點代入直線解析式得：

，

解得：或（a≠c，舍去）

如圖所示，C在A的右側，

∴當x≥1時，．

【點評】此題主要考查了二次函數的綜合應用以及根與系數的關系和一次函數與二次函數交點問題等知識，根據數形結合得出是解題關鍵．