Question

【題目】如圖，在在平面直角坐標系中，拋物線的頂點坐標為，點C（0，6）是拋物線與y的交點．

（1）求拋物線與x軸的交點A，B的坐標（A在B的左邊）；

（2）設直線y＝h（h為常數，0＜h＜6）與直線BC交于點D，與y交于點E，與AC交于點F，連AE，定點M的坐標為（﹣2，0）．

①求h為何值時，△AEF的面積S最大；

②問：是否存在這樣的直線y＝h，使△BDM是等腰三角形？若存在，請求出h的值和點D的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣3，0），B（2，0）；（2）①當h＝3時，△AEF的面積S最大；②存在直線y＝h使△BDM是等腰三角形，當h＝時，點D的坐標為（，）；當h＝時，點D的坐標為（2﹣，）．

【解析】

（1）設拋物線的解析式為y＝a（x+）2+，將C（0，6）代入拋物線即可求a，再令y=0從而可求出A，B兩點的坐標；

（2）分別求出直線AC的解析式為y＝2x+6，直線BC的解析式為y＝﹣3x+6，①根據題意可得E（0，h），F（h﹣3，h），則S＝×h×（3﹣h），將解析式化為頂點式可求得△AEF的面積S最大；②先求出D（2﹣h，h），BM＝4，再分以下三種情況求解：當MB＝MD=4時，根據MD2＝16，結合勾股定理列出關于h的方程，求出h以及點D坐標；當MB＝DB=4時，根據DB2＝16，結合勾股定理列出關于h的方程，求出h以及點D坐標；當MD＝BD時，因為O為BM的中點，且y軸垂直平分BM，則點D在y軸上，此時不成立．

解：（1）拋物線的頂點坐標為，

設拋物線的解析式為y＝a（x+）2+，

又C（0，6）在拋物線上，

∴6＝a+，

∴a＝﹣1，

∴拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣x+6，

令y=0，得﹣x2﹣x+6=0，解得x1=-3，x2=2，

∴A（﹣3，0），B（2，0）；

（2）設直線AC的解析式為y=kx+b，將點A(-3，0)，點C(0，6)代入解析式得，

，解得，

∴直線AC的解析式為y＝2x+6，

同理可求得直線BC的解析式為y＝﹣3x+6，

①根據題意可得E（0，h），

又點F在直線AC上，且點F的縱坐標為h，∴點F的坐標為（h﹣3，h），

∴S＝×h×（3﹣h）＝﹣h2+h＝﹣（h﹣3）2+，

當h＝3時，△AEF的面積S最大；

②∵點D在直線BC上，且點D的縱坐標h，∴點D坐標為（2﹣h，h），

∵M的坐標為（﹣2，0），∴BM＝4，

當MB＝MD時，MD＝4，

∴MD2=+h2＝16，

∴h＝或h＝0，

∵0＜h＜6，

∴h＝，

∴D（，）；

當MB＝DB時，

h2+h2＝16，

∴h＝±，

∴h＝，

∴D（2﹣，）；

當MD＝BD時，

又因為O為BM的中點，且y軸垂直平分BM，則點D在y軸上，

∴此時不成立．

綜上所述，存在直線y＝h使△BDM是等腰三角形，當h＝時，點D的坐標為（，）；當h＝時，點D的坐標為（2﹣，）．