Question

【題目】如圖⊙O是△ABC的外接圓，∠ABC＝45°，延長BC于D，連接AD，使得AD∥OC，AB交OC于E．

（1）求證：AD與⊙O相切；

（2）若AE＝2，CE＝2．求⊙O的半徑和AB的長度．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）AB＝．

【解析】

（1）連接OA，要證明切線，只需證明OA⊥AD，根據AD∥OC，只需得到OA⊥OC，根據圓周角定理即可證明；

（2）設⊙O的半徑為R，則OA=R，OE=R-2，AE=2，在Rt△OAE中根據勾股定理可計算出R=4；作OH⊥AB于H，根據垂徑定理得AH=BH，再利用面積法計算出OH=，然后根據勾股定理計算出AH=，再利用垂徑定理得出AB=2AH═．

（1）連接OA，

∵∠ABC＝45°，

∴∠AOC＝2∠ABC＝90°，

∴OA⊥OC；

又∵AD∥OC，

∴OA⊥AD，

∴AD是⊙O的切線．

（2）設⊙O的半徑為R，則OA＝R，OE＝R﹣2，AE＝2，

在Rt△OAE中，∵AO2+OE2＝AE2，

∴R2+（R﹣2）2＝（2）2，解得R＝4，

作OH⊥AB于H，如圖，

OE＝OC﹣CE＝4﹣2＝2，

則AH＝BH，

∵OHAE＝OEOA，

∴OH＝＝＝，

在Rt△AOH中，AH＝＝，

∵OH⊥AB，

∴AB＝2AH＝．