Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，∠ABC的平分線交⊙O于點D，DE⊥BC于點E．

（1）試判斷DE與⊙O的位置關系，并說明理由；

（2）若⊙O的半徑為3，BC＝4，求CE的長．

Answer 1

【答案】（1）DE與⊙O相切，證明詳見解析；（2）EC＝1.

【解析】

（1）連接OD，由題意可得∠CBD=∠ODB=∠DBO，可得OD∥BE，可證DE⊥OD，即可證DE與⊙O相切；
（2）過點D作DF⊥AB于點F，連接DC，由題意可證Rt△DFA≌Rt△DEC，Rt△DBF≌Rt△DBE，可得AF=EC，BF=BE，即可求EC的長．

解：（1）DE與⊙O相切

理由如下：連接OD

∵OB＝OD

∴∠OBD＝∠ODB

∵∠ABC的平分線交⊙O于點D，

∴∠ABD＝∠CBD

∴∠CBD＝∠ODB

∴OD∥BE

∵DE⊥BC于點E．

∴DE⊥OD

∴DE與⊙O相切

（2）過點D作DF⊥AB于點F，連接DC，

∵∠ABD＝∠CBD，DE⊥BE，DF⊥AB

∴DF＝DE，

∴AD＝CD

∵AD＝CD，DF＝DE

∴Rt△DFA≌Rt△DEC（HL）

∴AF＝EC

∵DF＝DE，DB＝DB

∴Rt△DBF≌Rt△DBE（HL）

∴BF＝BE

∵BA＝BF+AF＝BE+AF＝BC+EC+CE＝6

∴4+2CE＝6

∴EC＝1