Question

【題目】如圖，點P在平行四邊形ABCD的邊BC上，將△ABP沿直線AP翻折，點B恰好落在邊AD的垂直平分線上，如果AB＝5，AD＝8，tanB＝，那么BP的長為_____．

Answer 1

【答案】或7

【解析】

①如圖1，過A作AH⊥BC于H，連接DB′，設AH＝4x，BH＝3x，根據勾股定理得到AB＝＝5x＝5，根據旋轉的性質得到AB′＝AB＝5，AM＝DM＝AD＝4，∠AMN＝∠HNM＝90°，根據勾股定理得到MB′＝＝3，求得HN＝MN＝4，根據相似三角形的性質即可得到結論；

②如圖2，由①知，MN＝4，MB′＝3，BN＝7，求得NB＝NB′，推出點P與N重合，得到BP＝BN＝7．

①如圖1，過A作AH⊥BC于H，連接DB′，

設BB′與AP交于E，

AD的垂直平分線交AD于M，BC于N，

∵tanB＝，

∴設AH＝4x，BH＝3x，

∴AB＝＝5x＝5，

∴x＝1，

∴AH＝4，BH＝3，

∵將△ABP沿直線AP翻折，點B恰好落在邊AD的垂直平分線MN上，

∴AB′＝AB＝5，AM＝DM＝AD＝4，∠AMN＝∠HNM＝90°，

∴四邊形AHNM是正方形，MB′＝＝3，

∴HN＝MN＝4，

∴BN＝7，B′N＝1，

∴BB′＝，

∴BE＝BB′＝，

∵∠BEP＝∠BNB′＝90°，∠PBE＝∠B′BN，

∴△BPE∽△BB′N，

∴，

∴，

∴BP＝；

②如圖2，由①知，MN＝4，MB′＝3，BN＝7，

∴NB＝NB′，

∴點N在BB′的垂直平分線上，

∵將△ABP沿直線AP翻折，點B恰好落在邊AD的垂直平分線上，

∴點P也在BB′的垂直平分線上，

∴點P與N重合，

∴BP＝BN＝7，

綜上所述，BP的長為或7．

故答案為：或7．