Question

20．如圖，AB是⊙O的直徑，點D是AB延長線上的一點，DC切⊙O于C，過點A作AE⊥DC（垂足為E）交⊙O于發，CH⊥AB于H，連接HF．
（1）求證：CE=CH；
（2）若BD=$\frac{1}{3}$AD=3，求FH的長．

Answer 1

分析 （1）延長CH交圓于G，連接AC，AG，根據垂徑定理得到$\widehat{AC}=\widehat{AG}$，求得∠ACH=∠G根據三角形的內角和得到∠EAC+∠ACE=∠ACH+∠CAH=90°，根據弦切角定理得到∠ACE=∠G，等量代換得到∠EAC=∠HAC，根據角平分線的性質即可得到結論；
（2）根據BD=$\frac{1}{3}$AD=3，得到AO=BO=BD=3，求得OD=6，根據切線的性質得到∠OCD=90°，求得∠D=30°，得到∠COD=60°根據切割線定理得到CE²=EF•AE，求得EF=$\frac{C{E}^{2}}{AE}$=$\frac{3}{2}$，得到AF=AE-EF=3，根據余弦定理得即可得到結論．

解答 解：（1）延長CH交圓于G，連接AC，AG，
∵AB是⊙O的直徑，CH⊥AB于H，
∴$\widehat{AC}=\widehat{AG}$，
∴∠ACH=∠G，
∵AE⊥DC，
∴∠E=90°，
∴∠EAC+∠ACE=∠ACH+∠CAH=90°，
∵DC切⊙O于C，
∴∠ACE=∠G，
∴∠ACE=∠ACH，
∴∠EAC=∠HAC，
∴CE=CH；

（2）∵BD=$\frac{1}{3}$AD=3，
∴AO=BO=BD=3，
∴OD=6，
連接OC，
∵DC切⊙O于C，
∴∠OCD=90°，
∵OC=$\frac{1}{2}$OD，
∴∠D=30°，
∴∠COD=60°，
∵OC=OA，
∴∠OAC=∠OCA=30°，
∴AC=CD=$\sqrt{3}$OC=3$\sqrt{3}$，
∴CE=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，AE=$\frac{9}{2}$，AH=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{9}{2}$，
∵DC切⊙O于C，
∴CE²=EF•AE，
∴EF=$\frac{C{E}^{2}}{AE}$=$\frac{3}{2}$，
∴AF=AE-EF=3，
根據余弦定理得：HF²=AF²+AH²-2AF•AHcos60°=3²+（$\frac{9}{2}$）²-2×$3×\frac{9}{2}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{63}{4}$，
∴FH=$\frac{3\sqrt{7}}{2}$．

點評 本題考查了切線的性質，垂徑定理，含30°角的直角三角形的性質，余弦定理，正確的作出輔助線是解題的關鍵．