Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線與雙曲線交于第一、三象限內的、兩點，與軸交于點，過點作軸，垂足為，，，點的縱坐標為4．

（1）求反比例函數和一次函數的函數表達式；

（2）連接，求四邊形的面積；

（3）在（1）的條件下，根據圖像直接寫出反比例函數的值小于一次函數的值時，自變量的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）反比例函數解析式為；一次函數解析式為；（2）4；

（3）或．

【解析】

（1）根據BM⊥軸，可知△BMO為等腰直角三角形，可求得點B的坐標，將其代入反比例函數，求出，即可知反比例函數解析式，已知點A的縱坐標，代入求得的反比例函數解析式，可求得點A的橫坐標，再利用待定系數法，即可求得一次函數解析式；

（2）一次函數與y軸交于點C，可求得C的坐標，易證四邊形MBOC是平行四邊形，OM即為高，四邊形的面積即可求解；

（3）要使反比例函數的值小于一次函數的值，反比例函數圖像一定在一次函數圖像的下方，觀察圖像，即可求解自變量的取值范圍．

解：（1）∵BM⊥軸，且BM=OM，

∴△BMO為等腰直角三角形，

∵OB=，

∴BM=OM=2，

∴點B的坐標為（-2，-2），

∵點B在雙曲線上，代入 ，可求得，

故反比例函數的解析式為，

∵點A 也是反比例函數上的點，且A點的縱坐標為4，代入，

求得A點坐標為（1，4），

∵點A、B也是直線上的點，

∴ ，解得 ．

故一次函數的解析式為．

（2）∵ 一次函數與軸交于點C， 將代入解析式，可求得C點的坐標為（0，2）

∴ BM=OC，又∵BM//OC，

∴四邊形MBOC是平行四邊形，OM即為平行四邊形MBOC的高，

∴四邊形MBOC的面積，

故四邊形MBOC的面積為4．

（3）根據圖像觀察可知，要使反比例函數的值小于一次函數的值時，反比例函數圖像一定在一次函數圖像的下方，包括A（1，4）的右側，以及B（-2，-2）到軸這兩部分，從而可知，自變量的取值范圍是：或．

故答案為：或．