Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點O是坐標原點，OA、OC分別在x軸、y軸的正半軸上，且OA＝5，OC＝4．

(1)如圖①，將矩形沿對角線OB折疊，使得點A落在點D處，OD與CB相交于點E，請問重疊部分△OBE是什么三角形？說明你的理由：并求出這個三角形的面積；

(2)如圖②，點E、F分別是OC、OA邊上的點，將△OEF沿EF折疊，使得點O正好落在BC邊上的D點，過點D作DH⊥OA，交EF于點G，交OA于點H，若CD＝2，求點G的坐標；

(3)如圖③，照(2)中條件，當點E、F在OC、OA上移動時，點D也在邊BC上隨之移動，請直接寫出BD的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）是等腰三角形，理由見解析；；（2）；（3）1≤BD≤3

【解析】

（1）根據折疊的性質和矩形的性質，得出，，進而得到是等腰三角形，再利用勾股定理求出EB的長，進而求面積即可；

（2）易得點G的橫坐標為2，根據折疊的性質和DH⊥OA，得出，再在中利用勾股定理求出DG的長即可得到點G的縱坐標；

（3）分兩種情況考慮：①當點E運動到與點C重合時；②當點F運動到與點A重合時，分別求出BD的值，即可得到BD的取值范圍．

（1）是等腰三角形，理由如下：

如下圖，

圖形折疊

矩形

即

是等腰三角形

設，則

在中，

求得

（2）如下圖，

∵圖形折疊

，是等腰三角形

設，則

在中

，求得

即

（3）①當點E運動到與點C重合時，如下圖：

此時，CD=OC=4，則BD=BC-CD=1；

②當點F運動到與點A重合時，如下圖：

此時，AD=OA=5，在Rt△ABD中，BD===3，

∴BD的取值范圍為1≤BD≤3.