Question

【題目】（閱讀材料）解方程(x－1)2－5(x－1)＋4＝0時，我們發現：先將x－1看作一個整體，然后設x－1＝y.……①，那么原方程可化為y2－5y＋4＝0，解得y1＝1，y2＝4.當y＝1時，x－1＝1，則x＝2；當y＝4時，x－1＝4，則x＝5，故原方程的解為x1＝2，x2＝5.

上述解題過程，在由原方程得到方程①的過程中，運用了“換元法”達到了解方程的目的，體現了轉化的數學思想．

（解決問題）

(1)請利用以上知識解方程：(3x＋5)2－4(3x＋5)＋3＝0；

(2)在△ABC中，∠C＝90°，兩條直角邊的長分別為a，b，斜邊的長為c，且(a2＋b2)(a2＋b2＋1)＝12，求斜邊c的長．

Answer 1

【答案】（1）∴x1＝－，x2＝－.（2）.

【解析】（1）先設3x＋5＝y，原方程可以變為：y24y＋3＝0，再解一道關于y的方程求出y的值，再分別代入3x＋5就可以求出x的值，即可得a2＋b2＝3；在直角三角形中用勾股定理可得c的值.

（2）先設a2＋b2＝x(x＞0)，則原方程可化為x(x＋1)＝12，解這個關于x的一元二次方程，求得x的值，

(1)設3x＋5＝y，則原方程可變形為y2－4y＋3＝0，解得y1＝1，y2＝3.

當y＝1時，3x＋5＝1，解得x＝－；

當y＝3時，3x＋5＝3，解得x＝－，

∴x1＝－，x2＝－；

(2)設a2＋b2＝x(x＞0)，則(a2＋b2 )(a2＋b2＋1)＝12可化為x(x＋1)＝12，

即x2＋x－12＝0，

解得x1＝3，x2＝－4＜0 (不合題意，舍去)，

∴a2＋b2＝3.

∵∠C＝90°，

∴a2＋b2＝c2，

∴c2＝3，

∴c＝.

答：斜邊c的長為.