【題目】如圖,正方形ABCD的四個頂點分別在四條平行線 、
、
、
上,這四條直線中相鄰兩條之間的距離依次為
、
、
(
>0,
>0,
>0).
(1)求證: =
;
(2)設正方形ABCD的面積為S,求證:S= ;
(3)若 ,當
變化時,說明正方形ABCD的面積S隨
的變化情況.
【答案】
(1)證明:過A點作AF⊥l3分別交l2、l3于點E、F,過C點作CG⊥l3交l3于點G,
∵l2∥l3 , ∴∠2=∠3,∵∠1+∠2=90°,∠4+∠3=90°,∴∠1=∠4,又∵∠BEA=∠DGC=90°,BA=DC,∴△BEA≌△DGC,∴AE=CG,即 =
(2)解:∵∠FAD+∠3=90°,∠4+∠3=90°,∴∠FAD=∠4,又∵∠AFD=∠DGC=90°,AD=DC,∴△AFD≌△DGC,∴DF=CG,∵AD2=AF2+FD2 , ∴S=
(3)解:由題意,得 ,所以
,
又 ,解得0<h1<
∴當0<h1< 時,S隨h1的增大而減小;
當h1= 時,S取得最小值
;
當 <h1<
時,S隨h1的增大而增大
【解析】(1)由三角形全等,即△BEA≌△DGC,可得h 1 = h 3;(2)正方形的面積可轉化為邊長的平方,通過證△AFD≌△DGC,得到DF=CG,利用勾股定理AD2=AF2+FD2 , 進而轉化為( h 1 + h 2 ) 2 + h 1 2;(3)可用h1的代數式表示h2,利用(2)的結論,構建S關于h1的二次函數,求出h1的范圍,在此范圍內,討論其性質.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二次函數的性質的相關知識,掌握增減性:當a>0時,對稱軸左邊,y隨x增大而減小;對稱軸右邊,y隨x增大而增大;當a<0時,對稱軸左邊,y隨x增大而增大;對稱軸右邊,y隨x增大而減。
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,∠ABD、∠ACD的角平分線交于點P,若∠A = 50°,∠D =10°,則∠P的度數為( )
A.15°B.20°C.25°D.30°
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】某工廠甲、乙兩個部門各有員工400人,為了解這兩個部門員工的生產技能情況,進行了抽樣調查,過程如下,請補充完整:收集數據:從甲、乙兩個部門各隨機抽取20名員工,進行了生產技能測試,測試成績(百分)如下:
甲 | 78 | 86 | 74 | 81 | 75 | 76 | 87 | 70 | 75 | 90 |
75 | 79 | 81 | 70 | 74 | 80 | 86 | 69 | 83 | 77 | |
乙 | 93 | 73 | 88 | 81 | 72 | 81 | 94 | 83 | 77 | 83 |
80 | 81 | 70 | 81 | 73 | 78 | 82 | 80 | 70 | 40 |
(1)整理、描述數據:按如分數段整理、描述這兩組樣本數據(請補全表格):
甲 | 0 | 0 | 1 | 11 | 7 | 1 |
乙 | __________ | 0 | 0 | __________ | __________ | __________ |
(說明:成績80分及以上為生產技能優秀,70-79分為生產技能良好,60-69分為生產技能合格,60分以下為生產技能不合格)
分析數據:兩組樣本數據的平均數、中位數、眾數如表所示(請補全表格):
部門 | 平均數 | 中位數 | 眾數 |
甲 | 78.3 | __________ | 75 |
乙 | 78 | 80.5 | __________ |
得出結論:
(2)估計乙部門生產技能優秀的員工人數為__________;
(3)你認為__________部門員工的生產技能水平較高,說明理由(至少從兩個不同的角度說明推斷的合理性).
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】閱讀材料:已知方程a22a
1=0,1
2b
b2=0且ab≠1,求
的值.
解:由a22a
1=0及1
2b
b2=0,
可知a≠0,b≠0,
又∵ab≠1,.
12b
b2=0可變形為
,
根據a22a
1=0和
的特征.
、
是方程x2
2x
1=0的兩個不相等的實數根,
則,即
.
根據閱讀材料所提供的方法,完成下面的解答.
已知:3m27m
2=0,2n2+7n
3=0且mn≠1,求
的值.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】隨著“低碳生活,綠色出行”理念的普及,新能源汽車正逐漸成為人們喜愛的交通工具.某汽車銷售公司計劃購進一批新能源汽車嘗試進行銷售,據了解2輛A型汽車、3輛B型汽氣車的進價共計80萬元;3輛A型汽車、2輛B型汽車的進價共計95萬元。
(1)求A、B兩種型號的汽車每輛進價分別為多少方元?
(2)若該公司計劃正好用200萬元購進以上兩種型號的新能源汽車(兩種型號的汽車均購買),請你幫助該公司設計購買方案;
(3)若該汽車銷售公司銷售1輛A型汽車可獲利8000元,銷售1輛B型汽車可獲利5000元,在(2)中的購買方案中,假如這些新能源汽車全部售出,哪種方案獲利最大?最大利潤是多少元?
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】正方形中,
為對角線
上一點,且
,
交
于
,延長
交
于
.
(1)求證:;
(2)已知如圖(2),為
上一點,連接
,并將
逆時針旋轉
至
,連接
,
為
的中點,連接
,試求出
.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,D、E分別是AB、AC的中點,過點E作EF∥AB,交BC于點F.
(1)求證:四邊形DBFE是平行四邊形;
(2)當△ABC滿足什么條件時,四邊形DBEF是菱形?為什么?
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c過點(﹣1,0),且對稱軸為直線x=1,有下列結論: ①abc<0;②10a+3b+c>0;③拋物線經過點(4,y1)與點(﹣3,y2),則y1>y2;④無論a,b,c取何值,拋物線都經過同一個點(﹣ ,0);⑤am2+bm+a≥0,其中所有正確的結論是 .
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