Question

【題目】如圖1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D為邊AB上一點，連接CD，在線段CD上取一點E，以AE為直角邊作等腰直角△AEF，使∠EAF＝90°，連接BF交CD的延長線于點P．

（1）探索：CE與BF有何數量關系和位置關系？并說明理由；

（2）如圖2，若AB＝2，AE＝1，把△AEF繞點A順時針旋轉至△AE'F′，當∠E′AC＝60°時，求BF′的長．

Answer 1

【答案】（1）CE＝BF，CE⊥BF，理由見解析；（2）

【解析】

（1）由“SAS”可證△AEC≌△AFB，可得CE＝BF，∠ABF＝∠ACE，進而可得CE⊥BF；

（2）過點E'作E'H⊥AC，連接E'C，由直角三角形的性質和勾股定理可求E'C的長，由“SAS”可證△F'AB≌△E'AC，可得BF'＝CE'＝．

（1）CE＝BF，CE⊥BF，理由如下：

∵∠BAC＝∠EAF＝90°，

∴∠EAC＝∠FAB，

又∵AE＝AF，AB＝AC，

∴△AEC≌△AFB（SAS）

∴CE＝BF，∠ABF＝∠ACE，

∵∠ADC＝∠BDP，

∴∠BPD＝∠CAD＝90°，

∴CE⊥BF；

（2）過點E'作E'H⊥AC，連接E'C，

∵把△AEF繞點A順時針旋轉至△AE'F′，

∴AF＝AE＝AE'＝AF'＝1，∠BAF'＝∠E'AC＝60°，

∵∠E'AC＝60°，∠AHE'＝90°，

∴∠AE'H＝30°，

∴AH＝AE'＝，E'H＝AH＝，

∴HC＝AC﹣AH＝，

∴E'C＝＝，

∵AF'＝AE'，∠F'AB＝∠E'AC＝60°，AB＝AC，

∴△F'AB≌△E'AC（SAS）

∴BF'＝CE'＝．