【題目】如圖,在△ABC中,AD是它的角平分線,G是AD上的一點,BG,CG分別平分∠ABC,∠ACB,GH⊥BC,垂足為H,求證:
(1)∠BGC=90°+ ∠BAC;
(2)∠1=∠2.
【答案】
(1)解:由三角形內角和定理可知:∠ABC+∠ACB=180°﹣∠BAC,
∵BG,CG分別平分∠ABC,∠ACB,
∠GBC= ∠ABC,∠GCB=
∠ACB
∴∠GBC+∠GCB= (∠ABC+∠ACB)=
(180°﹣∠BAC)=90°﹣
∠BAC
∴∠BGC=180°﹣(∠GBC+∠GCB)=180°﹣ (∠ABC+∠ACB)=90°+
∠BAC;
(2)解:∵AD是它的角平分線,
∴∠BAD=∠CAD
∴∠1=∠BAD+∠ABG,
∵GH⊥BC,
∴∠GHC=90°
∴∠2=90°﹣∠GCH
=90°﹣ ∠ACB
=90°﹣ (180°﹣∠DAC﹣∠ADC)
= ∠DAC+
∠ADC
∵∠ADC=∠ABC+∠BAD,
∴ ∠ADC=
∠ABC+∠
∠BAD
=∠ABG+ ∠BAD,
∴∠2= ∠DAC+
∠ADC
= ∠BAD+
∠BAD+∠ABG
=∠BAD+∠ABG,
∴∠1=∠2,
【解析】(1)由三角形內角和定理可知∠ABC+∠ACB=180°﹣∠BAC,然后利用角平分線的性質即可求出∠BGC=90°+ ∠BAC.(2)由于AD是它的角平分線,所以∠BAD=∠CAD,然后根據圖形可知:∠1=∠BAD+∠ABG,∠2=90°﹣∠GCH,最后根據三角形的內角和定理以及外角的性質即可求出答案.
【考點精析】掌握三角形的內角和外角是解答本題的根本,需要知道三角形的三個內角中,只可能有一個內角是直角或鈍角;直角三角形的兩個銳角互余;三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和;三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角.
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩人以相同路線前往距離單位10km的培訓中心參加學習.圖中l甲、l乙分別表示甲、乙兩人前往目的地所走的路程S(km)隨時間t(分)變化的函數圖象.以下說法:①乙比甲提前12分鐘到達;②甲的平均速度為15千米/小時;③乙走了8km后遇到甲;④乙出發6分鐘后追上甲.其中正確的有( )
A.4個
B.3個
C.2個
D.1個
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系中,已知拋物線過A,B,C三點,點A的坐標是(3,0),點C的坐標是(0,﹣3),動點P在拋物線上.
(1)b= ,c= ,點B的坐標為 ;(直接填寫結果)
(2)是否存在點P,使得△ACP是以AC為直角邊的直角三角形?若存在,求出所有符合條件的點P的坐標;若不存在,說明理由;
(3)過動點P作PE垂直y軸于點E,交直線AC于點D,過點D作x軸的垂線.垂足為F,連接EF,當線段EF的長度最短時,求出點P的坐標.
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【題目】甲、乙兩名同學在一次用頻率去估計概率的實驗中,統計了某一結果出現的頻率繪出的統計圖如圖所示,符合這一結果的實驗可能是( 。
A.擲一枚正六面體的骰子,出現1點的概率
B.任意寫一個正整數,它能被3整除的概率
C.拋一枚硬幣,出現正面的概率
D.從一個裝有2個白球和1個紅球的袋子中任取一球,取到白球的概率
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【題目】如圖1,△ABC和△AED都是等腰直角三角形,∠BAC=∠EAD=90°,點B在線段AE上,點C在線段AD上.
(1)請直接寫出線段BE與線段CD的關系: ;
(2)如圖2,將圖1中的△ABC繞點A順時針旋轉角α(0<α<360°),
①(1)中的結論是否成立?若成立,請利用圖2證明;若不成立,請說明理由;
②當AC=ED時,探究在△ABC旋轉的過程中,是否存在這樣的角α,使以A、B、C、D四點為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,請直接寫出角α的度數;若不存在,請說明理由.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標xOy中,已知點A(6,0),點B(0,6),動點C在以半徑為3的⊙O上,連接OC,過O點作OD⊥OC,OD與⊙O相交于點D(其中點C、O、D按逆時針方向排列),連接AB.
(1)當OC∥AB時,∠BOC的度數為 ;
(2)連接AC,BC,在點C在⊙O運動過程中,△ABC的面積是否存在最大值?并求出△ABC的最大值;
(3)直接寫出在(2)的條件下D點的坐標.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,點D,E,F分別在AB,BC,AC上,且∠ADF+∠DEC=180°,∠AFE=∠BDE.
(1)如圖1,當DE=DF時,圖1中是否存在與AB相等的線段?若存在,請找出,并加以證明;若不存在,說明理由;
(2)如圖2,當DE=kDF(其中0<k<1)時,若∠A=90°,AF=m,求BD的長(用含k,m的式子表示).
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