Question

【題目】已知拋物線y＝a（x﹣1）2過點（3，4），D為拋物線的頂點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點B、C均在拋物線上，其中點B（0，1），且∠BDC＝90°，求點C的坐標：

（3）如圖，直線y＝kx+1﹣k與拋物線交于P、Q兩點，∠PDQ＝90°，求△PDQ面積的最小值．

Answer 1

【答案】（1）y＝（x﹣1）2；（2）點C的坐標為（2，1）；（3）4

【解析】

（1）將點（3，4）代入解析式求得a的值即可；

（2）設點C的坐標為（x0，y0），其中y0＝（x0﹣1）2，作CF⊥x軸，證△BDO∽△DCF得，即1＝＝，據此求得x0的值即可得；

（3）過點D作x軸的垂線交直線PQ于點G，則DG＝4，根據S△PDQ＝DGMN列出關于k的等式求解可得．

解：（1）將點（3，4）代入解析式，得：4a＝4，

解得：a＝1，

所以拋物線解析式為y＝（x﹣1）2；

（2）由（1）知點D坐標為（1，0），

設點C的坐標為（x0，y0），（x0＞1、y0＞0），

則y0＝（x0﹣1）2，

如圖1，過點C作CF⊥x軸，

∴∠BOD＝∠DFC＝90°，∠DCF+∠CDF＝90°，

∵∠BDC＝90°，

∴∠BDO+∠CDF＝90°，

∴∠BDO＝∠DCF，

∴△BDO∽△DCF，

∴，

∴1＝＝，

解得：x0＝2，此時y0＝1，

∴點C的坐標為（2，1）．

（3）設點P的坐標為（x1，y1），點Q為（x2，y2），（其中x1＜1＜x2，y1＞0，y2＞0），

如圖2，分別過點P、Q作x軸的垂線，垂足分別為M、N，

由y=(x-1)2 ，y=kx+1-k，得x2﹣（2+k）x+k＝0．

∴x1+x2＝2+k，x1x2＝k．

∴MN＝|x1﹣x2|＝＝＝|2﹣k|．

則過點D作x軸的垂線交直線PQ于點G，則點G的坐標為（1，1），

所以DG＝1，

∴S△PDQ＝DGMN＝×1×|x1﹣x2|＝2＝2|2﹣k|，

∴當k＝0時，S△PDQ取得最小值4．