Question

（2013•南充）如圖1，點E為矩形ABCD邊AD上一點，點P，點Q同時從點B出發，點P沿BE→ED→DC運動到點C停止，點Q沿BC運動到點C停止，它們的運動速度都是1cm/s，設P，Q出發t秒時，△BPQ的面積為ycm²，已知y與t的函數關系的圖象如圖2（曲線OM為拋物線的一部分），則下列結論：
①AD=BE=5cm；
②當0＜t≤5時，y=

2

5

t²；
③直線NH的解析式為y=-

2

5

t+27；
④若△ABE與△QBP相似，則t=

29

4

秒，
其中正確結論的個數為（　�。�

A．4

B．3

C．2

D．1

Answer 1

分析：據圖（2）可以判斷三角形的面積變化分為三段，可以判斷出當點P到達點E時點Q到達點C，從而得到BC、BE的長度，再根據M、N是從5秒到7秒，可得ED的長度，然后表示出AE的長度，根據勾股定理求出AB的長度，然后針對各小題分析解答即可．

解答：解：根據圖（2）可得，當點P到達點E時點Q到達點C，
∵點P、Q的運動的速度都是1cm/秒，
∴BC=BE=5cm，
∴AD=BE=5，故①正確；

如圖（1）過點P作PF⊥BC于點F，
根據面積不變時△BPQ的面積為10，可得AB=4，

∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠PBF，
∴sin∠PBF=sin∠AEB=

AB

BE

=

4

5

，
∴PF=PBsin∠PBF=

4

5

t，
∴當0＜t≤5時，y=

1

2

BQ•PF=

1

2

t•

4

5

t=

2

5

t²，故②選項正確；

根據5-7秒面積不變，可得ED=2，
當點P運動到點C時，面積變為0，此時點P走過的路程為BE+ED+DC=11，
故點H的坐標為（11，0），
設直線NH的解析式為y=kx+b，
將點H（11，0），點N（7，10）代入可得：

11k+b=0 7k+b=10

，
解得：

k=- 5 2 b= 55 2

，
故直線NH的解析式為：y=-

5

2

t+

55

2

．故③錯誤；

如圖所示，當△ABE與△QBP相似時，點P在DC上，如圖2所示：
∵tan∠PBQ=tan∠ABE=

3

4

，
∴

PQ

BQ

=

3

4

，即

11-t

5

=

3

4

，
解得：t=

29

4

．
綜上可得①②④正確，共3個．
故選B．

點評：本題考查了二次函數的綜合應用及動點問題的函數圖象，根據圖（2）判斷出點P到達點E時，點Q到達點C是解題的關鍵，也是本題的突破口，難度較大．