Question

【題目】在△ABC中，AB＝BC，∠B＝90°，點D為直線BC上的一個動點(不與B、C重合)，連結AD，將線段AD繞點D按順時針方向旋轉90°，使點A旋轉到點E，連結EC．

(1)如果點D在線段BC上運動，如圖1：

①依題意補全圖1；

②求證：∠BAD＝∠EDC；

③通過觀察、實驗，小明得出結論：在點D運動的過程中，總有∠DCE＝135°，．

小明與同學討論后，形成了證明這個結論的幾種想法：

想法一：在AB上取一點F，使得BF＝BD，要證∠DCE＝135°，只需證△ADF≌△DEC．

想法二：以點D為圓心，DC為半徑畫弧交AC于點F，要證∠DCE＝135°，只需證△AFD≌△DCE．

想法三：過點E作BC所在直線的垂直線段EF，要證∠DCE＝135°，只需證EF＝CF．

請你參考上面的想法，證明∠DCE＝135°

(2)如果點D在線段CB的延長線上運動，利用圖2畫圖分析，∠DCE的度數還是確定的值嗎？如果是，直接寫出∠DCE的度數；如果不是，說明理由．

Answer 1

【答案】(1)①見解析；②證明見解析；③證明見解析；(2)∠DCE＝45°.

【解析】

(1)①根據題意作出圖形即可；②根據余角的性質得到結論；③證法1：在AB上取點F，使得BF＝BD，連接DF，根據等腰直角三角形的性質得到∠BFD＝45°，根據全等三角形的性質得到∠DCE＝∠AFD＝135°；證法2：以D為圓心，DC為半徑作弧交AC于點F，連接DF，根據全等三角形的性質即可得到結論；證法3：過點E作EF⊥BC交BC的延長線于點F，根據全等三角形的性質即可得到結論；

(2)過E作EF⊥DC于F，根據全等三角形的性質得到DB＝EF，AB＝DF＝BC，根據線段的和差得到FC＝EF，于是得到結論．

解：(1)①如圖①所示；

②證明：∵∠B＝90°，

∴∠BAD+∠BDA＝90°，

∵∠ADE＝90°，點D在線段BC上，

∴∠BAD+∠EDC＝90°，

∴∠BAD＝∠EDC；

②證法1：如圖，在AB上取點F，使得BF＝BD，連接DF，

∵BF＝BD，∠B＝90°，

∴∠BFD＝45°，

∴∠AFD＝135°，

∵BA＝BC，

∴AF＝CD，

在△ADF和△DEC中，

∴△ADF≌△DEC，

∴∠DCE＝∠AFD＝135°；

證法2：以D為圓心，DC為半徑作弧交AC于點F，連接DF，

∴DC＝DF，∠DFC＝∠DCF，

∵∠B＝90°，AB＝BC，

∴∠ACB＝45°，∠DFC＝45°，

∴∠DFC＝90°，∠AFD＝135°，

∵∠ADE＝∠FDC＝90°，

∴∠ADF＝∠EDC，

在△ADF≌△CDE中，，

∴△ADF≌△CDE，

∴∠AFD＝∠DCE＝135°；

證法3：過點E作EF⊥BC交BC的延長線于點F，

∴∠EFD＝90°，

∵∠B＝90°，

∴∠EFD＝∠B，

在△ABD和△DFE中，，

∴△ABD≌△DFE，

∴AB＝DF，BD＝EF，

∵AB＝BC，

∴BC＝DF，BC﹣DC＝DF﹣DC，

即BD＝CF，

∴EF＝CF，

∵∠EFC＝90°，

∴∠ECF＝45°，∠DCE＝135°；

(2)解：∠DCE＝45°，

理由：過E作EF⊥DC于F，

∵∠ABD＝90°，

∴∠EDF＝∠DAB＝90°﹣∠ADB，

在△ABD和△DFE中，，

∴△ABD≌△DFE，

∴DB＝EF，AB＝DF＝BC，

∴BC﹣BF＝DF﹣BF，

即FC＝DB，

∴FC＝EF，

∴∠DCE＝45°．