Question

如下圖所示，點O是坐標原點，點A(n，0)是x軸上一動點(n＜0)．以AO為一邊作矩形AOBC，使OB＝2OA，點C在第二象限．將矩形AOBC繞點A逆時針旋轉90°得矩形AGDE．過點A的直線y＝kx＋m(k≠0)交y軸于點F，FB＝FA．拋物線y＝ax²＋bx＋c過點E，F，G且和直線AF交于點H，過點H作x軸的垂線，垂足為點M．

(1)求k的值；

(2)點A位置改變時，△AMH的面積和矩形AOBC的面積比是否改變？說明你的理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)根據題意，得B(0，－2n)，當x＝0時，y＝kx＋m＝m，∴點F的坐標為(0，m)．而FB＝－2n－m，在Rt△AOF中，由勾股定理得，m2＋n2＝(－2n－m)2．化簡得m＝－0.75n，由于y＝kx－0.75n過點A(n，0)，∴0＝kn－0.75n，∴k＝0.75． 　　(2)∵拋物線y＝ax2＋bx＋c過點E(3n，0)，點F(0，－0.75n)，點G(n，－n)，代入解析式得y＝x2－x－n．與直線組成方程組，解得H(5n，3n)，HM＝－3n，AM＝－4n，∴△AMH的面積為6n2，而矩形AOBC的面積為2n2，∴△AMH的面積與矩形AOBC的面積的比為3，不隨著點A位置的改變而改變．

提示：

本題是一個綜合性較強的題目，探索變化過程中的不變量，關鍵是將點的坐標用參數n來表示，進而將線段用參數n表示，注意表示過程中n＜0這一條件．