Question

【題目】如圖，正方形 的邊長是3， ，連接 交于點 ，并分別與邊 交于點 ，連接 ．下列結論：① ；② ；③ ；④當 時， ．其中正確結論的個數是（ ）

A.1
B.2
C.3
D.4

Answer 1

【答案】C
【解析】解：①∵正方形 ABCD 的邊長是3， BP=CQ.
∴△DAP≌△ABQ.
∴∠P=∠Q.
∴∠P+∠QAB=∠Q+∠QAB=90°.
∴AQ⊥DP.
故①正確.
②在Rt△DAP中，AO⊥DP.
∴△AOD∽△POA
∴=.
∴OA2=PO.OD.
∵OD≠OE.
故②錯誤.
③∵正方形 ABCD 的邊長是3， BP=CQ.
∴△QCF≌△PBE.
∴CF=BE.
∵BC=DC.
∴DF=CE.
∴△ADF≌△DEC.
∴S△ADF-S△DOF=S△DEC-S△DOF.
∴SΔAOD=S四邊形OECF.
故③正確.
④∵BP=1時，AP=4.
∴△AOP∽△DAP.
∴==.BE=
∴QE=
∴△QOP∽△PAD.
∴===.
解得QO=,OE=,AO=5-QO=
∴tanOAE==.
故④正確.
所以答案是C.
【考點精析】關于本題考查的相似三角形的判定與性質和銳角三角函數的定義，需要了解相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方；銳角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的銳角三角函數才能得出正確答案．