Question

9．如圖，在平面直角坐標系xOy中，⊙P與y軸相切于點C，⊙P的半徑是4，直線y=x被⊙P截得的弦AB的長為$4\sqrt{3}$，求點P的坐標．

Answer 1

分析 過點P作PH⊥AB于H，PD⊥x軸于D，交直線y=x于E，連結PA，根據切線的性質得PC⊥y軸，則P點的橫坐標為4，所以E點坐標為（4，4），易得△EOD和△PEH都是等腰直角三角形，根據垂徑定理由PH⊥AB得AH=$\frac{1}{2}$AB=2$\sqrt{3}$，根據勾股定理可得PH=2，于是根據等腰直角三角形的性質得PE=$\sqrt{2}$PH=2$\sqrt{2}$，則PD=4+2$\sqrt{2}$，然后利用第一象限點的坐標特征寫出P點坐標．

解答 解：過點P作PH⊥AB于H，PD⊥x軸于D，交直線y=x于E，連結PA，
∵⊙P與y軸相切于點C，
∴PC⊥y軸，
∴P點的橫坐標為4，
∴E點坐標為（4，4），
∴△EOD和△PEH都是等腰直角三角形，
∵PH⊥AB，
∴AH=$\frac{1}{2}$AB=2$\sqrt{3}$，
在△PAH中，PH=$\sqrt{P{A}^{2}-A{H}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-（2\sqrt{3}）^{2}}$=2，
∴PE=$\sqrt{2}$PH=2$\sqrt{2}$，
∴PD=4+2$\sqrt{2}$，
∴P點坐標為（4，4+2$\sqrt{2}$）．

點評 本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經過切點的半徑．運用切線的性質來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構造直角三角形解決有關問題．也考查了垂徑定理．