Question

【題目】如圖，是的直徑，為半徑的中點，過作交弦于點，交于點，且.

（1）求證：是的切線；

（2）連接，，求的度數；

（3）若，，求的半徑.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）的半徑為4.

【解析】

（1）連接，由等邊對等角的性質可得：，，由垂線的性質和三角形內角和定理可得：∠OAG＋∠ADC＝90°，等角代換可得; ∠OGA＋∠DGF＝90°，繼而根據切線的判定即可求證結論；

（2）連接，先求證是等邊三角形，由等邊三角形的性質可得，繼而由同弧所對的圓周角等于其所對的圓心角的一半即可求解的度數；

（3）過點作于點，先征得，在利用三角函數值求得： ，，然后求證由相似三角形的判定方法，由相似三角形的性質可得：，進而設，， ，，，代入，解方程即可求解.

（1）證明：如圖1，連接.

∵，，

∵，.

又∵，

∴，

∴，

∴，

即是的切線.

（2）解：如圖1，連接.

∵，，

∴.

∵.

∴是等邊三角形，

∴，

∴.

（3）如圖2，過點作于點.

∵，

∴.

∵，

∴，

在中，，

∴.

∵是的直徑，

∴，

∵，，

∴，

∴.

∵，設，，則，，，

∴，

解得：，

∴，

∴的半徑為4.