Question

【題目】如圖，直線與軸相交于點，與軸相交于，拋物線經過兩點，與軸另一交點為．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1，過點作軸，交拋物線于另一點，點以每秒個單位長度的速度在線段上由點向點運動（點不與點和點重合），設運動時間為秒，過點作軸交于點，作于點，交軸右側的拋物線與點，連接，當時，求的值；

（3）如圖2，正方形，邊在軸上，點與點重合，邊長為個單位長度，將正方形沿射線方向，以每秒個單位長度的速度平移，時間為秒，在平移過程中，請寫出正方形的邊恰好與拋物線有兩個交點時的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當時，的值為秒；（3）或．

【解析】

（1）根據題意先求出B，C兩點的坐標，再將B，C的坐標代入拋物線的解析式即可得出結果；

（2）過點作于，先根據題意得出OE=t，再用含t的式子表示出點G的橫坐標表，根據點G在拋物線上，可得出t的值；

（3）如圖2，當正方形從位置1移動到位置2之間時，與拋物線有兩個交點；當正方形從位置3移動到位置4時，也與拋物線有兩個交點，分兩段區間求解，先利用含t的式子表示出在拋物線上的那一個頂點的橫縱坐標，然后代入拋物線解析式，可得出t的值，從而得出t的取值范圍，注意臨界點不取等號．

解：（1）直線與軸交于點，與軸交于點，

．

拋物線經過兩點，

∴，解得：，

∴拋物線的解析式為 ；

（2）如圖1，過點作于，

．

，

軸，．

軸，軸，．

．

點從點運動，時間為，

．

點，的橫坐標都為，點的橫坐標都為，

點的坐標為．

點在拋物線上，

，

解得：（舍去）．

當時，的值為秒；

（3）如圖2，當正方形從位置1移動到位置2之間時，與拋物線有兩個交點；當正方形從位置3移動到位置4時，也與拋物線有兩個交點，

①當正方形從位置1移動到位置2之間時，

當正方形處于位置1時，t=0，

當正方形處于位置2時，即點N在拋物線上，分別過點Q，M作x軸的垂線，垂足分別為E，F，則根據題意得，BQ=t，又∠ABC=45°，

∴QE=EB=t，

又易得四邊形QMFE為矩形，∴EF=QM=1，∠FGB=∠ABC=∠QGM=45°，

∴GM=QM=1，∴FB=FG=FM-GM=QE-GM=t-1，

∴AF=AB-FB=4-(t-1)=5-t，

∴FN=MN+BM=MN+EQ =1+t，

即點N的坐標為（5-t，1+t），

又點N在拋物線的圖象上，

∴1+t=-(5-t)2+3(5-t)+4，解得t1=3+（舍去），t1=3-；

∴此時t的取值范圍為；

②當正方形從位置3移動到位置4時，

當正方形處于位置3時，同理可得t=3+，

當正方形處于位置4時，同理可得t=2+，

∴此時，t的取值范圍是．

綜上所述，t的取值范圍是或．