Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，∠AOB=90°，AB∥x軸，OA=2，雙曲線經過點A．將△AOB繞點A順時針旋轉，使點O的對應點D落在x軸的負半軸上，若AB的對應線段AC恰好經過點O．

（1）求點A的坐標和雙曲線的解析式；

（2）判斷點C是否在雙曲線上，并說明理由

Answer 1

【答案】（1），雙曲線的解析式為；（2）點在雙曲線上，理由見解析.

【解析】

（1）根據旋轉的性質和平行線的性質，得到，得到△AOD是等邊三角形，根據特殊角的三角函數，求出點A的坐標，然后得到雙曲線的解析式；

（2）先求出OC的長度，然后利用特殊角的三角函數求出點C的坐標，然后進行判斷即可.

解：（1）過點A作軸，垂足為．

∵軸，

．

有旋轉的性質可知，．

．

．

為等邊三角形．

．

，

．

點的坐標為．

由題意知，，．

雙曲線的解析式為：．

（2）點在雙曲線上，理由如下：

過點作軸，垂足為．

由（1）知，．

．

．

，

．

點的坐標為．

將代入中，．

點在雙曲線上．