Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，點D、E分別在AC、BC上，BD與AE交于點O，且CD=CE，若點F是BD的中點，連接CF，交AE于點G．

（1）求證：CF⊥AE；

（2）如圖2，過點F作FM⊥BC，交AE的延長線于點M，垂足為M，連接CF，若CG=GM．

①求證：CF=CM；

②求的值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）①詳見解析；②

【解析】

證明≌，結合直角三角形斜邊中線的性質解決問題即可．

證明四邊形CDFM是平行四邊形，即可解決問題．

連接EF，設，證明，把問題轉化為：，求出OG，用a表示，即可解決問題．

（1）證明：如圖1中，

∵AC=BC，∠ACE=∠BCD=90°，CE=CD，

∴△ACE≌△BCD（SAS），

∴∠CAE=∠CBD，

∵DF=FB，

∴CF=FD=FB，

∴∠FCB=∠FBC，

∴∠FCB=∠CAB，

∵∠CAB+∠AEC=90°，

∴∠AEC+∠FCB=90°，

∴∠CGE=90°，

∴CF⊥AE．

（2）①證明：如圖2中，

∵FM⊥BC，

∴∠FHC=∠CGE=∠MGF=90°，

∴∠ECG+∠CEG=90°，∠ECG+∠CFH=90°，

∴∠CEG=∠CFH，

∴CG=GM，

∴△CGE≌△MGF（AAS），

∴CE=FM，EG=GF，

∵CD=CE，

∴CD=FM，

∵∠FHB=∠ACB=90°，

∴CD∥FM，

∴四邊形CDFM是平行四邊形，

∴CM=DF，

∵CF=DF=FB，

∴CM=CF．

②連接EF，BM．設FG=EG=a，

∵CM=BF，CM∥BF，

∴FG∥BM，

∴=，

∵△CAE≌△CBD，

∴∠CAE=∠CBD，∵∠CAB=∠CBA，

∴∠OAB=∠OBA，

∴OA=OB，

∴=，

易知OG=GF=EG=a，EF=EM=a，

∴OM=2a+a，

∴==．